Bagaimana anda mendapati jumlah siri geometri tak terhingga 10 (2/3) ^ n apabila n = 2?

Jawapan:

Jawapannya sama ada $40/9$ atau $40/3$ bergantung kepada apa yang dimaksudkan dengan soalan itu.

Penjelasan:

Baik jika $n = 2$ maka tidak ada jumlah, jawapannya hanya:

$10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9$

Tetapi mungkin soalan itu dimaksudkan untuk menanyakan bahawa jumlah tak terhingga diambil bermula pada $n = 2$ supaya persamaan itu adalah:

$sum_ (n = 2) ^ 10 (2/3) ^ n$

Dalam kes ini, kita akan mengira dengan terlebih dahulu menyatakan bahawa mana-mana siri geometri boleh dilihat sebagai bentuk:

$sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n$

Dalam kes ini, siri kami ada $a = 10$ dan $r = 2/3$ .

Kami juga akan ambil perhatian bahawa:

$sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n$

Oleh itu, kita hanya dapat mengira jumlah siri geometri $(2/3) ^ n$ dan kemudian kalikan jumlah itu dengan $10$ untuk sampai ke keputusan kami. Ini menjadikan perkara lebih mudah.

Kami juga mempunyai persamaan:

$sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r)$

Ini membolehkan kita mengira jumlah siri bermula dari $n = 0$ . Tetapi kita mahu menghitungnya dari $n = 2$ . Untuk melakukan ini, kami hanya akan menolaknya $n = 0$ dan $n = 1$ terma dari jumlah penuh. Menulis beberapa syarat pertama dari jumlah yang kita dapat melihat bahawa ia kelihatan seperti:

$1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …$

Kita boleh lihat bahawa:

$sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) n - (1 + 2/3)$

$=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)$

$= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3$

Bagaimana anda mencari jumlah siri geometri tak terhingga 4 + 0.4 + 0.04 + ....?

Jumlah = 40/9 a_2 / a_1 = 0.4 / 4 = 4/40 = 1/10 a_3 / a_2 = 0.04 / 0.4 = 4/40 = 1/10 menyiratkan r = 1/10 dan a_1 = 4 Jumlah siri geometri tak terhingga diberikan oleh Sum = S = a_1 / (1-r) = 4 / (1-1 / 10) = 40 / (10-1) = 40/9 menyiratkan Sum = 40/9

Bagaimana anda mendapati jumlah siri geometri tak terhingga 4 - 2 + 1 - 1/2 +. . .?

8/3 a_2 / a_1 = (- 2) / 4 = -1 / 2 a_3 / a_2 = 1 / -2 = -1 / 12 menunjukkan nisbah biasa = r = -1 / 2 dan istilah pertama = a_1 = 4 Jumlah siri geometri tak terhingga diberikan oleh Sum = a_1 / (1-r) menunjukkan Sum = 4 / (1 - (- 1/2)) = 4 / (1 + 1/2) = 8/2 + 1 = 8/3 menyiratkan S = 8/3 Oleh itu jumlah siri geometri yang diberikan adalah 8/3.

Bagaimana anda dapat melihat jumlah siri geometri tak terhingga yang berikut, jika terdapat 3 + 9 + 27 + 54 + ...?

A_2 / a_1 = 9/3 = 3 a_3 / a_2 = 27/9 = 3 menyiratkan nisbah biasa = r = 3 Oleh kerana nisbah umum adalah lebih besar daripada, oleh itu, siri ini berbeza dan oleh itu jumlahnya tidak dapat dijumpai. Walau bagaimanapun, jumlahnya boleh dikatakan tidak terhingga.