Bagaimana anda mendapati jumlah siri geometri tak terhingga 10 (2/3) ^ n apabila n = 2?

Jawapan:

Jawapannya sama ada #40/9# atau #40/3# bergantung kepada apa yang dimaksudkan dengan soalan itu.

Penjelasan:

Baik jika #n = 2 # maka tidak ada jumlah, jawapannya hanya:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Tetapi mungkin soalan itu dimaksudkan untuk menanyakan bahawa jumlah tak terhingga diambil bermula pada # n = 2 # supaya persamaan itu adalah:

#sum_ (n = 2) ^ 10 (2/3) ^ n #

Dalam kes ini, kita akan mengira dengan terlebih dahulu menyatakan bahawa mana-mana siri geometri boleh dilihat sebagai bentuk:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Dalam kes ini, siri kami ada #a = 10 # dan #r = 2/3 #.

Kami juga akan ambil perhatian bahawa:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Oleh itu, kita hanya dapat mengira jumlah siri geometri # (2/3) ^ n # dan kemudian kalikan jumlah itu dengan #10# untuk sampai ke keputusan kami. Ini menjadikan perkara lebih mudah.

Kami juga mempunyai persamaan:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Ini membolehkan kita mengira jumlah siri bermula dari # n = 0 #. Tetapi kita mahu menghitungnya dari # n = 2 #. Untuk melakukan ini, kami hanya akan menolaknya # n = 0 # dan # n = 1 # terma dari jumlah penuh. Menulis beberapa syarat pertama dari jumlah yang kita dapat melihat bahawa ia kelihatan seperti:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Kita boleh lihat bahawa:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#