Lim_ (x-> 0) dosa (1 / x) / (sin (1 / x))?

Jawapan:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Penjelasan:

kami mencari:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Apabila kita menilai had kita melihat tingkah laku fungsi "berhampiran" titik itu, tidak semestinya tingkah laku fungsi "pada" titik yang dipersoalkan, oleh itu sebagai #x rarr 0 #, tidak semestinya kita perlu mempertimbangkan apa yang berlaku pada # x = 0 #, Oleh itu kita mendapat keputusan yang remeh:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Untuk kejelasan graf fungsi untuk menggambarkan kelakuan sekitar # x = 0 #

graf {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Ia harus dijelaskan bahawa fungsi itu # y = sin (1 / x) / dosa (1 / x) # tidak jelas pada # x = 0 #

Jawapan:

Sila lihat di bawah.

Penjelasan:

Takrif had fungsi yang saya gunakan bersamaan dengan:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # jika dan hanya untuk setiap positif # epsilon #, ada yang positif # delta # seperti itu untuk setiap # x #, jika # 0 <abs (x-a) <delta # kemudian #abs (f (x) - L) <epsilon #

Kerana makna "#abs (f (x) - L) <epsilon #", ini memerlukan semua # x # dengan # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # ditakrifkan.

Iaitu, untuk yang diperlukan # delta #, semuanya # (a-delta, a + delta) # kecuali mungkin # a #, terletak pada domain # f #.

Semua ini mendapat kita:

#lim_ (xrarra) f (x) # wujud hanya jika # f # ditakrifkan dalam beberapa jarak terbuka yang mengandungi # a #, kecuali mungkin di # a #.

(# f # mesti ditakrifkan dalam sesetengah kawasan terbuka dipadam # a #)

Oleh itu, #lim_ (xrarr0) dosa (1 / x) / dosa (1 / x) # tidak wujud.

Satu contoh yang hampir remeh

#f (x) = 1 # untuk # x # realiti tidak rasional (tidak ditentukan untuk rasional)

#lim_ (xrarr0) f (x) # tidak wujud.