Jawapan:
# x = 9 #
Penjelasan:
Kami sedang mencari integer terbesar di mana:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Terdapat beberapa cara yang boleh kita lakukan ini. Satu adalah dengan hanya mencuba integer. Sebagai garis dasar, mari kita cuba # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
dan jadi kita tahu itu # x # sekurang-kurangnya 0 jadi tidak perlu menguji integer negatif.
Kita dapat melihat bahawa kuasa terbesar di sebelah kiri adalah 4. Mari kita cuba # x = 4 # dan lihat apa yang berlaku:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Saya akan bertahan di seluruh matematik - ia jelas sebelah kiri lebih besar dengan jumlah yang besar. Jadi mari kita cuba # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
jadi # x = 10 # terlalu besar. Saya fikir jawapan kita akan 9. Mari kita periksa:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
dan sekali lagi ia jelas sebelah kiri lebih besar dari kanan. Jadi jawapan terakhir kami ialah # x = 9 #.
Apakah cara lain untuk mencari ini? Kita boleh mencuba grafik. Jika kita menyatakan ini sebagai # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, kami mendapat graf yang kelihatan seperti ini:
graf {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
dan kita dapat melihat bahawa jawapannya meningkat di sekitar # x = 8.5 # tanda, masih positif pada # x = 9 # dan bertukar negatif sebelum mencapai # x = 10 # - membuat # x = 9 # integer terbesar.
Bagaimana lagi yang boleh kita lakukan ini? Kita boleh selesaikan # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # secara algebra.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Untuk menjadikan matematik lebih mudah, saya mula-mula akan melihat bahawa sebagai nilai-nilai # x # Peningkatan, istilah sisi kiri mula menjadi tidak relevan. Mula-mula 9 akan berkurang sehingga pentingnya ia tidak relevan, dan perkara yang sama berlaku untuk # 30x ^ 2 # terma. Oleh itu, ini mengurangkan kepada:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
dan saya fikir saya membuat kekacauan ini! algebra bukan cara mudah untuk mendekati masalah ini!
