Bagaimanakah saya menyelesaikan persamaan ini?

Jawapan:

# "Lihat penjelasan" #

Penjelasan:

# "Pertama, gunakan teorem akar rasional untuk mencari akar yang rasional." #

# "Kami dapati" x = 1 "sebagai akar rasional." #

# "Jadi" (x-1) "adalah faktor. Kami membahagikan faktor itu:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Kami mempunyai persamaan padu padu yang tidak mempunyai akar rasional." #

# "Kami dapat menyelesaikannya dengan penggantian kaedah Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Pengganti" x = y + 2/9 "Kemudian kita mendapat" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Pengganti" y = (sqrt (22) / 9) z "Kemudian kita mendapat" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Pengganti" z = t + 1 / t "Kemudian kami mendapat" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Substituting" u = t ^ 3 ", menghasilkan persamaan kuadrat:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Akar persamaan kuadratik ini ialah u = 5.73717252." #

# "Menggantikan pembolehubah semula, hasil:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Akar lain yang rumit:" #

# -0.38982242 petang 0.55586071 i. #

# "(Mereka boleh didapati dengan membahagikan jauh" (x-1.44631151)) #

Jawapan:

Sifar sebenar rasional ialah # x = 1 #.

Kemudian ada sifar yang tidak rasional:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

dan sifar kompleks bukan sebenar yang berkaitan.

Penjelasan:

Diberikan:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Perhatikan bahawa jumlah pekali adalah #0#.

Itu dia: #3-5+2 = 0#

Oleh itu, kita boleh menyimpulkannya # x = 1 # adalah sifar dan # (x-1) # faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (putih) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Kubus yang tinggal agak rumit …

Diberikan:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformasi Tschirnhaus

Untuk membuat tugas penyelesaian mudah padu, kami membuat padu lebih mudah menggunakan penggantian linear yang dikenali sebagai transformasi Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

di mana # t = (9x-2) #

Kaedah Cardano

Kami mahu selesaikan:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Biarkan # t = u + v #.

Kemudian:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Tambah kekangan # v = 22 / u # untuk menghapuskan # (u + v) # jangka masa dan dapatkan:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Maju melalui oleh # u ^ 3 # dan susun semula sedikit untuk mendapatkan:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Gunakan formula kuadratik untuk mencari:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Oleh kerana ini adalah Real dan derivasi adalah simetri dalam # u # dan # v #, kita boleh menggunakan salah satu akar ini # u ^ 3 # dan yang lainnya untuk # v ^ 3 # untuk mencari akar sebenar:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

dan akar Kompleks yang berkaitan:

# t_2 = omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

di mana # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # adalah akar kubus Kompleks primitif #1#.

Sekarang # x = 1/9 (2 + t) #. Oleh itu, akar kubik asli kami ialah:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #