Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Saya tidak menemui mata pelana, tetapi ada minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Untuk mencari extrema, ambil turutan separa berkenaan # x # dan # y # untuk melihat sama ada kedua-dua derivatif separa secara serentak boleh sama #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Jika mereka pada masa yang sama mesti sama #0#, mereka membentuk a sistem persamaan:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

# x + 2y + 1 = 0 #

Ini linear sistem persamaan, apabila ditolak untuk membatalkan # y #, memberikan:

# 3x - 1 = 0 => warna (hijau) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => warna (hijau) (y = -2/3) #

Oleh kerana persamaan adalah linear, hanya terdapat satu titik kritikal, dan dengan itu hanya satu ekstremum. Derivatif kedua akan memberitahu kami sama ada ia adalah maksimum atau minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Parsial kedua ini bersesuaian, jadi graf itu adalah cekung, sepanjang # x # dan # y # paksi.

Nilai #f (x, y) # pada titik kritikal adalah (dengan memasukkan semula persamaan asal):

#color (hijau) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = warna (hijau) (- 1/3) #

Oleh itu, kita mempunyai a minimum daripada #color (biru) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Sekarang, untuk cross-derivatives untuk memeriksa mana-mana mata pelana yang boleh di sepanjang arah pepenjuru:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Memandangkan ini adalah kedua-dua perjanjian, bukannya tanda-tanda yang bertentangan, ada tiada titik pelana.

Kita dapat melihat bagaimana grafik ini kelihatan hanya untuk memeriksa: