Apakah integral daripada sqrt (9-x ^ 2)?

Apabila saya melihat jenis fungsi seperti ini, saya sedar (dengan berlatih banyak) bahawa anda harus menggunakan penggantian khas di sini:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Ini mungkin kelihatan seperti penggantian yang aneh, tetapi anda akan melihat mengapa kami melakukan ini.

#dx = 3cos (u) du #

Ganti tiap-tiap perkara secara tidak penting:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Kita boleh membawa 3 dari integral:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Anda boleh membuat faktor 9 keluar:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Kami tahu identiti: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Jika kita selesaikan # cosx #, kita mendapatkan:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Ini adalah apa yang kita lihat secara bersepadu, jadi kita boleh menggantikannya:

# 9 int kos ^ 2 (u) du #

Anda mungkin tahu yang ini sebagai antidivatif asas, tetapi jika anda tidak, anda boleh memikirkannya seperti itu:

Kami menggunakan identiti: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (anda boleh melakukan ini dengan menggantikannya)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Sekarang, semua yang perlu kita lakukan ialah meletakkan # u # ke dalam fungsi. Mari kita lihat semula bagaimana kami menamakannya:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Untuk mendapatkan # u # Daripada ini, anda perlu mengambil fungsi songsang # sin # di kedua-dua belah pihak, ini # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Sekarang kita perlu memasukkannya ke dalam penyelesaian kami:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Inilah penyelesaian akhir.