Apakah beberapa contoh siri konvergen?

Jawapan:

Berikut adalah tiga contoh penting …

Penjelasan:

Siri geometri

Jika #abs (r) <1 # maka jumlah siri geometri #a_n = r ^ n a_0 # adalah konvergen:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Fungsi eksponen

Siri menentukan # e ^ x # adalah konvergen untuk sebarang nilai # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Untuk membuktikan ini, untuk apa-apa yang diberikan # x #, mari # N # menjadi integer yang lebih besar daripada #abs (x) #. Kemudian #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # menumpuk sejak ia adalah jumlah terhingga dan #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # menumpuk sejak nilai mutlak nisbah istilah berturut-turut kurang daripada #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Masalah Basel

Masalah Basel, yang ditimbulkan pada tahun 1644 dan diselesaikan oleh Euler pada tahun 1734, meminta nilai jumlah balas dari kuadrat bilangan bulat positif:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #