Cari nilai x yang mana siri berikut adalah konvergen?

Jawapan:

#1<>

Penjelasan:

Apabila cuba menentukan radius dan / atau selang penumpuan siri kuasa seperti ini, adalah lebih baik menggunakan Ujian Nisbah, yang memberitahu kita untuk siri # suma_n #, kami biarkan

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Jika #L <1 # siri ini benar-benar menumpu (dan oleh itu konvergen)

Jika #L> 1 #, siri ini menyimpang.

Jika # L = 1, # Ujian Rasio tidak dapat disimpulkan.

Walau bagaimanapun, bagi Siri Kuasa, terdapat tiga kes

a. Siri kuasa menumpuk untuk semua nombor nyata; selang penumpuannya adalah # (- ya, ya) #

b. Siri kuasa menumpu untuk beberapa nombor # x = a; # jejari konvergensinya adalah sifar.

c. Kes yang paling kerap, siri kuasa berkumpul untuk # | x-a |<> dengan selang penumpuan # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Jadi kalau # | 2x-3 | <1 #, siri ini menumpu. Tetapi kita perlukan ini dalam bentuk # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # menghasilkan penumpuan. Radius penumpuan adalah # R = 1 / 2. #

Sekarang, mari tentukan jeda tersebut:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Kita perlu palam # x = 1, x = 2 # ke dalam siri asal untuk melihat sama ada kita mempunyai konvergensi atau perbezaan di titik akhir ini.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # Diverge, musim ini tidak mempunyai had dan tentunya tidak pergi ke sifar, ia hanya menjadi tanda-tanda ganti.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # menyimpang juga dengan Ujian Divergensi, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Oleh itu, siri ini menumpukan untuk #1<>

Kita boleh menggunakan ujian nisbah yang mengatakan bahawa jika kita mempunyai siri

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

ia pasti konvergen jika:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Dalam kes kami, # a_n = (2x-3) ^ n #, jadi kami periksa had:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3)) ^ n)) / membatalkan ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Oleh itu, kita perlu menyemak bila # | 2x-3 | # kurang daripada #1#:

Saya membuat kesilapan di sini, tetapi jawapan di atas mempunyai kaedah yang sama dan jawapan yang betul, jadi semakalah sebaliknya.