Bagaimana saya mencari int integral (x * cos (5x)) dx?

Kami akan mengingati formula untuk integrasi oleh bahagian, iaitu:

#int u dv = uv - int v du #

Untuk mencari integral yang berjaya ini, kami akan membiarkannya #u = x #, dan #dv = cos 5x dx #. Oleh itu, #du = dx # dan #v = 1/5 sin 5x #. (# v # boleh dijumpai dengan cepat # u #-substitusi)

Sebab saya memilih # x # untuk nilai # u # adalah kerana saya tahu bahawa kemudian saya akan menggabungkan # v # di darab dengan # u #derivatif. Sejak terbitan # u # betul #1#, dan sejak mengintegrasikan fungsi trig dengan sendirinya tidak menjadikannya lebih rumit, kami telah mengalih keluar secara berkesan # x # dari integrand dan hanya perlu bimbang tentang sinus sekarang.

Jadi, memasukkan formula IBP, kami dapat:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Menarik #1/5# daripada integrasi memberi kita:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Mengintegrasikan sinus itu hanya akan mengambil # u #-pemudian. Sejak kita sudah pun menggunakannya # u # untuk formula IBP saya akan menggunakan surat itu # q # sebaliknya:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Untuk mendapatkan # 5 dx # di dalam integrand saya akan membiak integral oleh yang lain #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Dan, menggantikan segala-galanya dari segi # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Kita tahu bahawa integral # sin # adalah # -cos #, jadi kita boleh selesaikan integral ini dengan mudah. Ingat pemalar integrasi:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Sekarang kita akan menggantikannya # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Dan ada integral kita.