Adakah silinder radius terbesar, r dan ketinggian h yang boleh dimuatkan dalam lingkungan radius, R?

Jawapan:

Jumlah maksimum silinder yang terdapat jika kita memilih

# r = sqrt (2/3) R #, dan #h = (2R) / sqrt (3) #

Pilihan ini membawa kepada jumlah silinder maksimum:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Penjelasan:

``

Bayangkan seksyen salib melalui pusat silinder, dan biarkan silinder mempunyai ketinggian # h #, dan jumlah # V #, maka kita ada;

# h # dan # r # boleh diubah dan # R # adalah tetap. Jumlah silinder diberikan oleh formula standard:

# V = pir ^ 2h #

Radius sfera, # R # adalah hipotenus segi tiga dengan sisi # r # dan # 1 / 2h #, jadi menggunakan Pythagoras, kita ada:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Kita boleh menggantikan ini ke dalam persamaan kelantangan kita untuk mendapatkan:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Kami kini mempunyai kelantangan, # V # sebagai fungsi pembolehubah tunggal # h #, yang kami cuba memaksimumkan wrt # h # jadi membezakan wrt # h # memberikan:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Sekurang-kurangnya atau maksimum, # (dV) / (dh) = 0 # jadi:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (jelasnya kita mahu te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Dengan nilai ini # h # kita mendapatkan:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Kita perlu semak bahawa nilai ini membawa kepada jumlah maksimum (bukan maksimum), Kita lakukan ini dengan melihat derivatif kedua:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Dan sebagai #h> 0 # kami membuat kesimpulan itu # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # dan bahawa titik kritikal yang dikenal pasti membawa maksimum seperti yang diminta.

Oleh itu, isipadu maksimum silinder didapati jika kita memilih

# r = sqrt (2/3) R #, dan #h = (2R) / sqrt (3) #

Dengan pilihan ini, kami mendapat jumlah maksimum sebagai;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Dan dengan jelas jumlah Sfera diberikan oleh:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Ini adalah masalah yang sangat terkenal, yang dipelajari oleh cara matematik Yunani sebelum Kalkulus ditemui. Harta yang menarik adalah nisbah jumlah silinder hingga jumlah sfera:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Dalam erti kata lain, nisbah volum adalah bebas daripada # R #, # r # atau # h # yang merupakan hasil yang mengejutkan!