Apakah lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) sebagai x mendekati 1 dari sebelah kanan?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nah, ini akan menjadi lebih mudah jika kita hanya mengambil # ln # dari kedua belah pihak. Sejak # x ^ (1 / (1-x)) # adalah berterusan dalam jarak terbuka di sebelah kanan #1#, kita boleh mengatakan bahawa:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Sejak #ln (1) = 0 # dan #(1 - 1) = 0#, ini adalah bentuk #0/0# dan peraturan L'Hopital terpakai:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Dan sudah tentu, # 1 / x # berterusan dari setiap sisi #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Akibatnya, had asal ialah:

#color (biru) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ 1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = warna (biru) (1 / e) #