Sebuah badan ditemui pada pukul 10 pagi di sebuah gudang di mana suhu 40 ° F. Pemeriksa perubatan mendapati suhu badan menjadi 80 ° F. Apakah anggaran masa kematian?

Jawapan:

Masa kematian adalah kira-kira #8:02:24# am.

Penting untuk diperhatikan bahawa ini adalah suhu kulit badan. Pemeriksa perubatan akan mengukur suhu dalaman yang akan menurun lebih perlahan.

Penjelasan:

Undang-undang penyejukan Newton menyatakan bahawa kadar perubahan suhu adalah berkadar dengan perbezaan kepada suhu ambien. Ya

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Jika #T> T_0 # maka badan perlu menjadi sejuk supaya derivatif harus negatif, oleh itu kita memasukkan pemalar kekekalan dan tiba di

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Memperbanyakkan kurungan dan peralihan tentang mendapatkan kami:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Kini boleh menggunakan kaedah faktor penyepaduan penyelesaian ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Maju kedua belah pihak #I (x) # untuk mendapatkan

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Perhatikan bahawa dengan menggunakan peraturan produk kita boleh menulis semula LHS, meninggalkan:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Mengintegrasikan kedua-dua belah pihak # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Bahagikan oleh # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Suhu badan manusia purata adalah # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Biarkan # t_f # menjadi masa di mana badan ditemui.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1.96 jam #

Maka dari masa kematian, dengan asumsi tubuh segera mula sejuk, diperlukan 1.96 jam untuk mencapai 80 ° F di mana titik itu dijumpai.

# 1.96hr = 117.6min #

Masa kematian adalah kira-kira #8:02:24# am