Apakah integral e ^ (x ^ 3)?

Anda tidak boleh menyatakan integral ini dari segi fungsi asas.

Bergantung pada apa yang anda perlukan integrasi untuk, anda boleh memilih cara integrasi atau yang lain.

Integrasi melalui siri kuasa

Ingatlah itu # e ^ x # adalah analitik #mathbb {R} #, jadi #forall x dalam mathbb {R} # persamaan berikut dipegang

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

dan ini bermakna itu

{e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Sekarang anda boleh mengintegrasikan:

dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integrasi melalui Fungsi Gamma Tidak Selesai

Pertama, pengganti # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Fungsinya # e ^ {x ^ 3} # berterusan. Ini bermakna fungsi primitifnya adalah #F: mathbb {R} kepada mathbb {R} # seperti itu

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^

dan ini jelas kerana fungsi itu #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # adalah sedemikian rupa untuk #t hingga 0 # ia memegang #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, supaya tidak penting # int_0 ^ s f (t) dt # adalah terhingga (saya panggil # s = -y ^ 3 #).

Jadi anda mempunyai itu

#int ^ ^ x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Ingatkan itu #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Ini bermakna bahawa untuk #t ke + lenyap # kita mendapatnya #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, jadi # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Jadi mengikuti integrasi yang salah #f (t) # adalah terhingga:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3).

Kita boleh menulis:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt)

itu dia

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Akhirnya kita dapat

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3)