Apa yang menyeronokkan, berguna, fakta matematik yang anda tahu yang tidak biasanya diajar di sekolah?

Jawapan:

Bagaimana untuk menilai "menara eksponen", seperti #2^(2^(2^2))#, dan bagaimana untuk membuat angka terakhir # 2 ^ n, # # ninNN #.

Penjelasan:

Untuk menilai "menara" ini, kita mulakan di bahagian atas dan bergerak ke bawah.

Jadi:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Pada nota yang serupa, tetapi sedikit tidak berkaitan, saya juga tahu cara untuk membuat angka terakhir #2# dibangkitkan kepada sebarang eksponen semulajadi. Digit terakhir #2# dibangkitkan kepada sesuatu yang selalu kitaran antara empat nilai: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Jadi, jika anda ingin mencari angka terakhir # 2 ^ n #, cari tempat mana ia berada dalam kitaran, dan anda akan tahu angka terakhirnya.

Jawapan:

Jika #n> 0 # dan # a # adalah penghampiran kepada #sqrt (n) #, maka:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

di mana #b = n-a ^ 2 #

Penjelasan:

Katakan kita ingin mencari punca kuasa beberapa nombor #n> 0 #.

Selanjutnya, kami ingin hasilnya menjadi semacam pecahan berterusan yang diulang pada setiap langkah.

Cuba:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

#color (putih) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)

#color (putih) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Tolakkan # a # dari kedua-dua hujung untuk mendapatkan:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Maju kedua belah pihak #sqrt (n) + a # untuk mendapatkan:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Jadi kalau # a ^ 2 # sedikit kurang daripada # n #, kemudian # b # akan menjadi kecil dan pecahan yang berterusan akan bertambah lebih cepat.

Contohnya, jika kita ada # n = 28 # dan pilih # a = 5 #, maka kita dapat:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Jadi:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

yang memberi kita perkiraan:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Kalkulator memberitahu saya #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Jadi ini tidak menumpuk dengan cepat.

Sebagai alternatif, kami mungkin meletakkannya # n = 28 # dan # a = 127/24 # untuk mencari:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Jadi:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

memberi kami anggaran:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Itulah yang lebih menumpu.

Jawapan:

Anda boleh menemui anggaran untuk akar persegi menggunakan urutan yang ditentukan secara rekursif.

Penjelasan:

#color (white) () #

Cara

Memandangkan integer positif # n # yang bukan persegi sempurna:

• Biarkan #p = lantai (sqrt (n)) # menjadi integer positif terbesar yang persegi tidak melebihi # n #.

• Biarkan #q = n-p ^ 2 #

• Tentukan urutan bilangan bulat dengan:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "untuk" i> = 1):} #

Kemudian nisbah di antara jujukan berturut-turut akan cenderung ke arah # p + sqrt (n) #

#color (white) () #

Contoh

Biarkan # n = 7 #.

Kemudian #p = lantai (sqrt (7)) = 2 #, sejak #2^2=4 < 7# tetapi #3^2 = 9 > 7#.

Kemudian # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Maka urutan kami bermula:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Secara teoritis, nisbah antara syarat berturut-turut harus dituju # 2 + sqrt (7) #

Mari lihat:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Perhatikan bahawa # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#color (white) () #

Bagaimana ia berfungsi

Katakan kita mempunyai urutan yang ditakrifkan oleh nilai yang diberikan # a_1, a_2 # dan peraturan:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

untuk beberapa pemalar # p # dan # q #.

Pertimbangkan persamaan ini:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Akar persamaan ini adalah:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Kemudian apa-apa urutan dengan istilah umum # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # akan memenuhi peraturan berulang yang kami nyatakan.

Selesaikan seterusnya:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

untuk # A # dan # B #.

Kita dapati:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

dan seterusnya:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Jadi dengan nilai-nilai ini # x_1, x_2, A, B # kami ada:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Jika #q <3p ^ 2 # kemudian #abs (x_2) <1 # dan nisbah antara istilah berturut-turut akan cenderung ke arah # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Jawapan:

Bahagian modular

Penjelasan:

Bahagian modular hanya sama dengan bahagian kecuali jawapannya adalah bakinya dan bukannya nilai sebenar. Daripada #-:# simbol, anda menggunakan #%# simbol.

Sebagai contoh, biasanya, jika anda hendak menyelesaikannya #16-:5# anda akan mendapat #3# sisa #1# atau #3.2#. Walau bagaimanapun, dengan menggunakan pembahagian modular, #16%5=1#.

Jawapan:

Menilai kotak dengan penjumlahan

Penjelasan:

Biasanya, anda harus tahu dataran seperti #5^2=25#. Walau bagaimanapun, apabila nombor semakin besar seperti #25^2#, ia menjadi lebih sukar untuk mengetahui di bahagian atas kepala anda.

Saya menyedari bahawa selepas beberapa saat, dataran hanya jumlah wang yang ganjil.

Apa yang saya maksudkan ialah:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # di mana # k # adalah nilai asas tolak #1#

Jadi #5^2# boleh ditulis sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Itu akan memberi anda:

#1+3+5+7+9#

Ini, sebenarnya, adalah #25#.

Oleh kerana nombor sentiasa bertambah #2#, Saya kemudian boleh menambah nombor pertama dan terakhir dan kemudian berlipat ganda dengan # k / 2 #.

Jadi untuk #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Jadi saya boleh buat #(49+1)(25/2)# dan dapat #25^2# iaitu #625#.

Ia tidak benar-benar praktikal tetapi ia menarik untuk diketahui.

#color (white) () #

Bonus

Mengetahui bahawa:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terms" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

membolehkan kita menyelesaikan beberapa masalah mengenai perbezaan petak.

Sebagai contoh, apakah semua penyelesaian dalam integer positif #m, n # daripada # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Ini akan mengurangkan jumlah bilangan bilangan bulat ganjil berturut-turut #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "purata 20" #

#color (putih) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (putih) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (putih) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "purata 10" #

#color (putih) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (putih) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (putih) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #