Bagaimanakah saya boleh membuktikannya? Adakah ini akan menggunakan teorem dari analisis sebenar?

# "Gunakan definisi derivatif:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Di sini kita ada" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Kita perlu membuktikan bahawa" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

# "atau" #

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

# "atau" #

#h '(x_0) = 0 #

# "dengan" h (x) = f (x) - g (x) #

# "atau" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)

# "atau" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(kerana" f (x_0) = g (x_0) ")" #

# "Sekarang" #

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "jika" h> 0 "dan" lim> = 0 "jika" h <0 #

# "Kami membuat andaian bahawa f dan g adalah berbeza" #

# "jadi" h (x) = f (x) - g (x) "juga boleh dibezakan," #

# "jadi had kiri mesti sama dengan had yang betul, jadi" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Jawapan:

Saya akan memberikan penyelesaian yang lebih cepat daripada yang ada di http://socratic.org/s/aQZyW77G. Untuk ini kita perlu bergantung kepada beberapa hasil yang biasa dari kalkulus.

Penjelasan:

Tentukan #h (x) = f (x) -g (x) #

Sejak #f (x) le g (x) #, kita ada #h (x) le 0 #

Pada # x = x_0 #, kita ada #f (x_0) = g (x_0) #, jadi #h (x_0) = 0 #

Oleh itu # x = x_0 # adalah maksimum fungsi yang berbeza #h (x) # dalam selang terbuka # (a, b) #. Oleh itu

#h ^ '(x_0) = 0 menyiratkan #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) menyiratkan #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #