Apakah siri Taylor f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ lenyak (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1}

Marilah kita lihat beberapa butiran.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Ingat bahawa siri kuasa geometri

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

dengan menggantikan # x # oleh # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ #

Jadi, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ lenyap (-1) ^ nx ^ {2n} #

Dengan mengintegrasikan, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

dengan meletakkan tanda penting dalam penjumlahan, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

oleh Peraturan Kuasa, # = sum_ {n = 1} ^ bertenaga (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Sejak #f (0) = arctan (0) = 0 #, (0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Oleh itu, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ lenyak (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1}