Apakah fungsi gelombang dan apakah kehendaknya untuk bertindak dengan baik, iaitu untuk mewakili kenyataan fizikal dengan betul?

Jawapan:

Fungsi gelombang adalah fungsi yang bernilai kompleks yang mana amplitud (nilai mutlak) memberikan pengagihan kebarangkalian. Walau bagaimanapun, ia tidak bertindak dengan cara yang sama seperti gelombang biasa.

Penjelasan:

Dalam mekanik kuantum, kita bercakap mengenai keadaan sistem. Salah satu contoh paling mudah ialah zarah yang boleh di putaran atas atau bawah, contohnya elektron. Apabila kita mengukur spin sistem, kita mengukurnya untuk naik atau turun. Suatu negeri yang mana kita pasti hasil pengukurannya, kita panggil sebuah eigenstate (one up state) # uarr # dan satu ke bawah # darr #).

Terdapat juga negeri-negeri di mana kita tidak pasti hasil pengukuran sebelum kita mengukurnya. Negeri-negeri ini kita panggil superposisi dan kita boleh menuliskannya sebagai # a * uarr + b * darr #. Di sini kita ada # | a | ^ 2 # kebarangkalian mengukur # uarr #, dan # | b | ^ 2 # kebarangkalian mengukur # darr #. Ini bermakna sudah tentu itu # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Kami membenarkan # a, b # menjadi nombor kompleks, sebab ini tidak segera jelas dari contoh ini, tetapi dalam konteks fungsi gelombang itu akan lebih jelas. Intinya ialah terdapat lebih banyak negara daripada satu yang memberikan kebarangkalian yang sama untuk mengukur putaran.

Sekarang kita boleh cuba untuk memberi fungsi kepada keadaan putaran ini. Oleh kerana terdapat hanya dua hasil pengukuran putaran, kita mempunyai fungsi yang hanya mempunyai dua input yang mungkin. Jika kita panggil fungsi itu # psi # (ini adalah simbol yang sangat konvensional yang digunakan untuk gelombang gelombang), kami menetapkan #psi (uarr) = a # dan #psi (darr) = b #.

Sekarang kita berpaling kepada fungsi gelombang. Satu aspek zarah tentu saja lokasinya. Sama seperti dalam spin, kita boleh mengukur nilai yang berbeza untuk lokasi, dan kita boleh mempunyai keadaan di mana hasil pengukuran tidak ditetapkan terlebih dahulu. Oleh kerana kita mempunyai bilangan infiniti tak terhitung lokasi di mana zarah boleh, menuliskan keadaan ini sebagai # a * "here" + b * "there" # tidak akan lakukan. Walau bagaimanapun, idea fungsi yang kami gunakan di atas tidak. Jadi untuk mana-mana lokasi # x #, kita mempunyai nilai yang kompleks #psi (x) #. Fungsi ketumpatan kebarangkalian zarah kini diberikan oleh # | psi (x) | ^ 2 #.

Dalam semua keadilan, secara historis idea fungsi gelombang lebih tua daripada spin itu, tetapi saya fikir pemahaman idea spin ke tahap tertentu membantu dalam pemahaman fungsi gelombang.

Sekarang pertama sekali, mengapa kompleks gelombang berfungsi dihargai? Sebab pertama dapat dijumpai dalam gagasan gangguan. Fungsi gelombang dari zarah boleh mengganggu dengan sendirinya. Campuran ini mempunyai kaitan dengan menambah fasfungsi gelombang, jika fasfum gelombang memberikan nilai mutlak yang sama pada titik tertentu, maka kebarangkalian mengukur zarah di sekitar titik itu adalah sama. Walau bagaimanapun nilai-nilai fungsi boleh berbeza, jika ia adalah sama, menambahkannya akan menjadikan amplitud, atau kepadatan kebarangkalian 4 (#|2|^2#) kali lebih besar (gangguan membina), dan jika mereka berbeza dengan tanda mereka menafikan satu sama lain (gangguan merosakkan). Bagaimanapun juga boleh berbeza dengan contoh faktor # i #, bermakna ketumpatan kebarangkalian menjadi #2# kali lebih besar pada ketika itu. Kita tahu bahawa semua gangguan ini boleh berlaku. Oleh itu, ini menunjuk ke arah fungsi gelombang yang kompleks seperti yang diterangkan sebelum ini.

Sebab kedua dapat dijumpai dalam persamaan Schrödinger. Pada mulanya ia difikirkan bahawa fonfungsi ini bertindak seperti gelombang klasik. Walau bagaimanapun, apabila Schrödinger cuba menggambarkan kelakuan gelombang ini, atau sekurang-kurangnya evolusi mereka melalui masa, dia mendapati bahawa persamaan yang mengawal gelombang klasik tidak mencukupi. Dalam usaha untuk itu, dia perlu memperkenalkan nombor kompleks ke dalam persamaan, yang membawa kepada kesimpulan bahawa fungsi itu sendiri perlu menjadi kompleks juga, dan urutan derivatif yang terdapat dalam persamaan berbeza daripada persamaan gelombang klasik.

Perbezaan dalam persamaan ini juga menjawab soalan kedua anda. Oleh kerana evolusi fungsi gelombang berbeza jauh daripada gelombang klasik, kita tidak boleh menggunakan kaedah yang sama yang kita gunakan dalam fizik gelombang klasik. Terdapat hujah geometri tentu saja yang boleh anda gunakan, tetapi tidak cukup untuk menggambarkan semua fenomena dalam fizik kuantum. Selain itu, walaupun fungsi gelombang memberi banyak maklumat mengenai keadaan zarah, ia tidak memberitahu apa-apa tentang putarannya, kerana spin dan lokasi yang diamati tidak ada hubungannya dengan setiap orang.

Mungkin saya menafsirkan apa yang anda maksudkan dengan sifat geometri yang salah. Bolehkah anda memberi contoh apa yang anda maksudkan. Mungkin saya dapat membantu anda.

The fungsi gelombang mewakili keadaan sistem mekanik kuantum seperti atom atau molekul.

Ia boleh diwakili sama ada # psi #, yang masa bebas fungsi gelombang, atau # Psi #, yang bergantung pada masa fungsi gelombang.

Kerana ia gelombang fungsi secara jelas mewakili sistem yang berkelakuan seperti a gelombang (bukan kebetulan bahawa ia dipanggil gelombang fungsi!), kami biasanya akan mengharapkan tidak terkawal fungsi gelombang tidak mempunyai sempadan. Pertimbangkan hakikat bahawa # sinx # dan # cosx #, dua fungsi yang jelas gelombang, mempunyai domain # (- ya, ya) #.

CONTOH: FUNGSI WAVE FOR ORBITALS

Walau bagaimanapun, mari kita ambil orbital sebagai contoh. Harus ada satu set syarat sempadan untuk orbit, kerana orbital jelas tidak besar.

Fungsi gelombang dapat menggambarkan kombinasi orbital atom linier untuk membentuk orbital molekul:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = warna (biru) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz)

di mana # c_i # adalah pekali pengembangan menunjukkan sumbangan setiap orbit atom kepada orbital molekul tertentu yang dipersoalkan, dan # phi_i ^ "AO" # adalah fungsi gelombang eksperimen / percubaan untuk setiap orbit atom.

Oleh kerana fungsi gelombang mesti dapat mewakili orbit, ia mesti mempunyai jejari positif (#r> 0 #) dan fungsi gelombang mesti tunggal -bernilai, ditutup , berterusan , ortogonal kepada semua fungsi gelombang yang berkaitan, dan normal .

Dalam erti kata lain, ia mesti lulus ujian garis menegak, mempunyai kawasan terhingga di bawah lengkung, tidak mempunyai lompat / discontinuities / asymptotes / breaks, dan memenuhi dua persamaan berikut:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integral fungsi gelombang dan konjugat kompleksnya adalah #0# jika fungsi gelombang berbeza)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integral fungsi gelombang dan conjugate kompleksnya dinormalisasi sedemikian rupa sehingga ia bersamaan #1# jika fungsi gelombang adalah sama selain tanda # pmi #)

Satu contoh persamaan untuk fungsi gelombang dalam koordinat sfera untuk atom hidrogen ialah:

#color (blue) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = warna (biru) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) #

Untuk berfikir, saya benar-benar menghabiskan masa untuk menormalkan ini. Saya juga mengambil masa untuk memeriksa orthogonality dengan dua yang lain # 2p # fungsi gelombang.: P

Sekiranya, ini adalah lampiran apa yang saya sambungkan di atas di Scratchpads.

#' '#

Normalisasi

The # 2p_z # Fungsi gelombang orbit atom ialah:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi)

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Adalah # 2p_z # fungsi gelombang benar-benar normal? LET'S FIND OUT!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (hijau) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3" (over_br (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?)

Kini, hanya memeriksa bahagian radial, yang merupakan bahagian gila … biarkan Integrasi oleh Kuadrup empat kali bermula!

PENILAIAN KOMPONEN RADIAL FUNGSI WAVE

Bahagian 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Katakanlah:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^

Bahagian 2

Katakanlah:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

r = 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Bahagian 3

Katakanlah:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)

r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Bahagian 4

Katakanlah:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) R - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) (Zr) / (a_0)) dr}} #

r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) R ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

PERLUASAN / SIMPANAN

r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0) (Zr) / (a_0))} #

^^ - ^ (- (Z) / (a ^) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

^^ - ^ (- (Z) / (a ^) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

4 = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0) 24 (a), (a), (a), (a) Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

BORANG PENILAIAN-MEMBACA

ae (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 _ (0) ^ (oo) #

Separuh pertama membatalkan akan menjadi #0#:

# = membatalkan ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0) a_0) / (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Separuh kedua menyederhanakan akan menjadi # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = membatalkan (e) (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancel ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + membatalkan (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Sekarang, mari kita semak semula fungsi gelombang secara keseluruhan …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a / / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

Batalkan ((Z / a_0) ^ 5) (batalkan (16) batal ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancel (2) cancel (pi) stackrel (?) (=) 1 #

#color (biru) (1 = 1) #

YES! SATU TIDAK SEMUA ORANG! Saya maksudkan…

Fungsi gelombang sememangnya dinormalisasi!: D

Membuktikan ortogonaliti bersama untuk fungsi gelombang 2p

Marilah kita memilih fonfungsi berikut:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0)

Untuk menunjukkan mereka ortogonal, kita perlu menunjukkan sekurang-kurangnya satu daripada mereka:

#int _ ("semua ruang") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Dan dari induksi kita boleh membayangkan selebihnya kerana komponen radial adalah sama. Dalam kata lain:

R (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0)

#color (hijau) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Bahagian jejari ternyata # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Jadi, marilah kita menilai bahagian sudut.

The # theta # bahagian:

#color (hijau) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Katakanlah:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = warna (hijau) (0) #

Dan kini # phi # bahagian:

#color (hijau) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Katakanlah:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = warna (hijau) (0) #

Oleh itu, kita mempunyai keseluruhan:

#color (biru) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = membatalkan (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0)

# = warna (biru) (0) #

Sejak

#int _ ("semua ruang") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

yang # 2p_z # dan # 2p_x # orbital atom adalah ortogonal.

Betul, perbezaan utama dengan menggunakan # 2p_y # Persamaan adalah bahawa anda sebaliknya mendapatkan:

(0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Dan juga:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = warna (biru) (0) #

Dari mendarab #0# oleh integral lain, maka keseluruhan integral hilang dan:

#int _ ("semua ruang") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Oleh itu, # 2p_x # dan # 2p_y # orbital atom adalah ortogonal.

Akhirnya, untuk # 2p_y # vs # 2p_z #:

(0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Kita tahu # theta # terpantas dari sebelumnya:

#color (biru) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = warna (biru) (0) #

Oleh itu, keseluruhan integral hilang lagi, dan sememangnya # 2p_y # dan # 2p_z # Orbital adalah ortogonal juga!