Apakah extrema f (x) = 3x-1 / sinx pada [pi / 2, (3pi) / 4]?

Jawapan:

Minimum mutlak pada domain berlaku pada kira-kira. # (pi / 2, 3.7124) #, dan max mutlak pada domain berlaku pada kira-kira. # (3pi / 4, 5.6544) #. Tiada ekstrema tempatan.

Penjelasan:

Sebelum kita memulakan, kita mesti menganalisis dan melihat sama ada #sin x # mengambil nilai #0# pada bila-bila masa pada selang waktu. #sin x # adalah sifar untuk semua x itu #x = npi #. # pi / 2 # dan # 3pi / 4 # kedua-duanya kurang daripada # pi # dan lebih besar daripada # 0pi = 0 #; Oleh itu, #sin x # tidak mengambil nilai sifar di sini.

Untuk menentukan ini, teringat bahawa berlaku melampau sama ada di mana #f '(x) = 0 # (mata kritikal) atau di salah satu titik akhir. Dalam fikiran ini, kita mengambil derivatif dari f (x) di atas, dan mencari titik di mana derivatif ini sama dengan 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx)

Bagaimanakah kita harus selesaikan istilah terakhir ini?

Pertimbangkan secara ringkas peraturan timbal balik, yang dibangunkan untuk menangani situasi seperti terma terakhir kami di sini, # d / (dx) (1 / sin x) #. Peraturan timbal balik membolehkan kami memintas secara langsung dengan menggunakan peraturan rantaian atau kuah dengan menyatakan yang diberi fungsi yang berbeza #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

bila #g (x)! = 0 #

Kembali ke persamaan utama kami, kami berhenti dengan;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Sejak #sin (x) # boleh dibezakan, kita boleh menggunakan peraturan timbal balik di sini:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Menetapkan ini sama dengan 0, kami tiba di:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Ini hanya boleh berlaku apabila #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Dari sini mungkin kita perlu menggunakan salah satu definisi trigonometri, khususnya # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x -

Ini menyerupai polinomial, dengan #cos x # menggantikan x tradisional kami. Oleh itu, kami mengisytiharkan #cos x = u # dan …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Menggunakan formula kuadratik di sini …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Akar kita berlaku pada #u = (1 + -sqrt37) / 6 # Menurut Ini. Walau bagaimanapun, salah satu akar ini (# (1 + sqrt37) / 6 #) tidak boleh menjadi akar untuk #cos x # kerana akar lebih besar daripada 1, dan # -1 <= cosx <= 1 # untuk semua x. Akar kedua kami, sebaliknya, mengira kira-kira kira-kira #-.847127#. Walau bagaimanapun, ini adalah kurang daripada nilai minima #cos x # fungsi boleh pada selang waktu (sejak #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Oleh itu, tiada titik kritikal dalam domain.

Ini dalam fikiran, kita mesti kembali ke titik akhir kita dan meletakkannya ke dalam fungsi asal. Melakukannya, kita dapati #f (pi / 2) lebih kurang 3.7124, f (3pi / 4) lebih kurang 5.6544 #

Oleh itu, minimum mutlak kami pada domain adalah kira-kira # (pi / 2, 3.7124), # dan maksimum kami adalah kira-kira # (3pi / 4, 5.6544) #