Soalan # 059f6

Jawapan:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (X-1) + / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Penjelasan:

Pembangunan Taylor berfungsi # f # pada # a # adalah (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Perlu diingat ia siri kuasa sehingga tidak semestinya berkumpul # f # atau bahkan menumpukan di tempat lain daripada pada # x = a #.

Kami mula-mula memerlukan derivatif # f # jika kita mahu mencuba formula sebenar siri Taylor.

Selepas kalkulus dan bukti induksi, kita boleh mengatakannya #AAk dalam NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) dan #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1).

Oleh itu selepas penyederhanaan kasar dan kecil, nampaknya siri Taylor # f # adalah (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k (2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) +1) #.