Berbeza dengan prinsip pertama x ^ 2sin (x)?

Jawapan:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # dari definisi derivatif dan mengambil beberapa had.

Penjelasan:

Biarkan #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Kemudian

# (df) / dx = lim_ {h ke 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h ke 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)

(x) 2 (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x) #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h ke 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

dengan identiti trigonometri dan beberapa penyederhanaan. Pada keempat baris terakhir ini kita ada empat istilah.

Istilah pertama sama dengan 0, sejak

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, yang boleh dilihat misalnya. dari pengembangan Taylor atau peraturan L'Hospital.

The Istilah keempat juga hilang kerana

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

# = lim_ {h ke 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

#= 0#.

Sekarang penggal kedua memudahkan untuk

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h ke 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, sejak

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #, seperti yang ditunjukkan di sini, atau contohnya. Peraturan L'Hospital (lihat di bawah).

The jangka ketiga memudahkan untuk

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

yang selepas itu menambah kepada penggal kedua memberikan itu

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: Oleh peraturan L'Hospital, sejak # lim_ {h ke 0} dosa (h) = 0 # dan # lim_ {h ke 0} h = 0 # dan kedua-dua fungsi adalah berbeza di sekitar # h = 0 #, kita ada

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h hingga 0} ((d / (dh)) sin (h) h to 0} cos (h) = 1 #.

Had itu # lim_ {h ke 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # boleh ditunjukkan dengan sama.