Buktikan bahawa lengkung x = y ^ 2 dan xy = k dipotong pada sudut yang tepat jika 8k ^ 2 = 1?

Jawapan:

#-1#

Penjelasan:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

kedua-dua lengkung adalah

#x = y ^ 2 #

dan

#x = sqrt (1/8) / y atau x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

untuk lengkung #x = y ^ 2 #, derivatif berkenaan dengan # y # adalah # 2y #.

untuk lengkung #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivatif berkenaan dengan # y # adalah # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

titik di mana kedua-dua lengkung bertemu ketika # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

sejak #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

titik di mana lengkung bertemu # (1/2, sqrt (1/2)) #

bila #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

kecerunan tangen ke lengkung #x = y ^ 2 # adalah # 2sqrt (1/2), atau 2 / (sqrt2) #.

bila #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

kecerunan tangen ke lengkung #xy = sqrt (1/8) # adalah # -2sqrt (1/8), atau -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Kami mencari keadaan # k # seperti lengkungnya # x = y ^ 2 # dan # xy = k # "dipotong pada sudut tepat". Matematik ini bererti lengkung harus ortogonal, yang seterusnya bermaksud bahawa pada setiap titik titik-titik ke lengkung pada mana-mana titik yang diberikan adalah tegak lurus.

Jika kita mengkaji keluarga keluk untuk pelbagai nilai # k # kita mendapatkan:

Kami perhatikan dengan serta-merta bahawa kita sedang mencari satu titik di mana tangen berserenjang jadi secara umumnya lengkung tidak ortogonal di semua titik.

Pertama mari kita cari tunggal menyelaras, # P #, titik persimpangan, yang merupakan penyelesaian serentak:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Substituting Eq A ke B kita dapat:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

Oleh itu, kita menubuhkan koordinat persimpangan:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Kita juga perlu kecerunan tangen di koordinat ini. Untuk lengkung pertama:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Jadi kecerunan tangen, # m_1 #, ke lengkung pertama pada # P # adalah:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Begitu juga, untuk lengkung kedua:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Jadi kecerunan tangen, # m_2 #, kepada lengkung kedua pada # P # adalah:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Sekiranya kedua-dua tangen berserenjang maka kita memerlukannya:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Memimpin kepada hasil yang diberikan:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Dan dengan nilai ini # k #