Biarkan 5a + 12b dan 12a + 5b menjadi panjang sisi segitiga sudut kanan dan 13a + kb menjadi hipotenus, di mana a, b dan k adalah bilangan bulat positif. Bagaimana anda mencari nilai terkecil k dan nilai terkecil a dan b untuk k?

Jawapan:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Penjelasan:

Dengan teorem Pythagoras, kita mempunyai:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Itu dia:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (putih) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Kurangkan sebelah kiri dari kedua-dua hujung untuk mencari:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (putih) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Sejak #b> 0 # kami memerlukan:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Sejak itu #a, b> 0 # kami memerlukan # (240-26k) # dan # (169-k ^ 2) # mempunyai tanda bertentangan.

Bila #k dalam 1, 9 # kedua-duanya # 240-26k # dan # 169-k ^ 2 # adalah positif.

Bila #k dalam 10, 12 # kita dapati # 240-26k <0 # dan # 169-k ^ 2> 0 # seperti yang dikehendaki.

Jadi nilai minima mungkin # k # adalah #10#.

Kemudian:

# -20a + 69b = 0 #

Sejak itu #20# dan #69# tidak mempunyai faktor biasa yang lebih besar daripada #1#, nilai min # a # dan # b # adalah #69# dan #20# masing-masing.