Buktikan fungsi itu tidak terhad pada x_0 = 0? + Contoh

Jawapan:

Lihat penjelasan.

Penjelasan:

Menurut definisi Heine tentang had fungsi yang kami ada:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Jadi untuk menunjukkan bahawa fungsi mempunyai TIDAK had pada # x_0 # kita perlu mencari dua urutan # {x_n} # dan # {bar (x) _n} # seperti itu

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

dan

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

Dalam contoh yang diberikan urutan tersebut boleh:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # dan #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Kedua-dua urutan berkumpul # x_0 = 0 #, tetapi mengikut formula fungsi yang kami ada:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

kerana semua elemen dalam # x_n # ada di dalam #1,1/2,1/4,…#

dan untuk #bar (x) _n # kami ada:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

tetapi untuk semua #n> = 2 # kami ada: #f (bar (x) _n) = 1 #

Jadi untuk #n -> + oo # kami ada:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Kedua-dua urutan merangkumi # x_0 = 0 #, tetapi had (*) dan (**) adalah TIDAK sama, jadi batasnya #lim_ {x-> 0} f (x) # tidak wujud.

QED

Takrif had boleh didapati di Wikipedia di:

Jawapan:

Berikut adalah bukti yang menggunakan penafian definisi kewujudan had.

Penjelasan:

Versi pendek

#f (x) # tidak boleh mendekati nombor tunggal # L # kerana di mana-mana kejiranan #0#, fungsinya # f # mengambil nilai yang berbeza antara satu sama lain #1#.

Jadi tidak kira apa yang dicadangkan oleh seseorang # L #, ada mata # x # berhampiran #0#, di mana #f (x) # sekurang-kurangnya #1/2# unit dari # L #

Versi lama

#lim_ (xrarr0) f (x) # wujud jika dan hanya jika

terdapat nombor, # L # seperti itu untuk semua #epsilon> 0 #, ada #delta> 0 # seperti itu untuk semua # x #, # 0 <abs (x) <delta # bererti #abs (f (x) -L) <epsilon #

Penolakan ini adalah:

#lim_ (xrarr0) f (x) # tidak wujud jika dan hanya jika

untuk setiap nombor, # L # ada satu #epsilon> 0 #, sedemikian rupa untuk semua #delta> 0 # ada satu # x #, seperti itu # 0 <abs (x) <delta # dan #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Memandangkan nombor # L #, Saya akan biarkan #epsilon = 1/2 # (mana-mana yang lebih kecil # epsilon # akan berfungsi juga)

Sekarang diberi positif # delta #, Saya mesti menunjukkan bahawa ada # x # dengan # 0 <absx <delta # dan #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (ingat bahawa #epsilon = 1/2 #)

Memandangkan positif # delta #, akhirnya # 1/2 ^ n <delta # jadi ada # x_1 # dengan #f (x_1) = 2 #.

Terdapat juga elemen # x_2 dalam RR- {1, 1/2, 1/4,… } # dengan # 0 <x_2 <delta # dan #f (x_2) = 1 #

Jika #L <= (1/2) #, kemudian #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Jika #L> = (1/2) #, kemudian #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #