Soalan # ba262

Jawapan:

Buktinya agak lama, tetapi boleh diurus. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Apabila cuba membuktikan identiti trig yang melibatkan pecahan, ia adalah idea yang baik untuk menambah pecahan terlebih dahulu:

# sint / (1-kos) + (1 + kos) / sint = (2 (1 + kos)) / sint #

# -> sint / (1-kos) sint / sint + (1 + kos) / sint (1-kos) / (1-kos) = (2 (1 +

# -> sin ^ 2t / ((1-kos) (sint)) + ((1 + kos) (1-kos)) / ((1-kos) (sint)) = (2 (1 + / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + kos) (1-kos)) / ((1-kos) (sint)) = (2 (1 +

Ekspresi # (1 + kos) (1 kos) # Sebenarnya perbezaan kuadrat dalam penyamaran:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Dengan # a = 1 # dan # b = kos #. Ia menilai untuk # (1) ^ 2- (kos) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Kita boleh pergi lebih jauh dengan # 1-cos ^ 2t #. Ingat identiti Pythagorean asas:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Mengurangkan # cos ^ 2x # dari kedua belah pihak, kita lihat:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Sejak # x # hanya pemboleh ubah ruang letak, kita boleh mengatakannya # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Oleh itu, # (1 + kos) (1 kos) # menjadi # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-kos) (sint)) = (2 (1 + kos)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-kos) (sint)) = (2 (1 + kos)) / sint #

Ambil perhatian bahawa sines membatalkan:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-kos) membatalkan ((sint))) = (2 (1 +

# -> (2sint) / (1-kos) = (2 (1 + kos)) / sint #

Kami hampir selesai. Langkah terakhir adalah untuk membiak sebelah kiri oleh konjugasi # 1-cost # (iaitu # 1 + kos #), untuk mengambil kesempatan daripada perbezaan segi dua harta:

# (2sint) / (1-kos) (1 + kos) / (1 + kos) = (2 (1 + kos)) / sint #

# -> (2sint (1 + kos)) / ((1-kos) (1 + kos)) = (2 (1 + kos)) / sint #

Sekali lagi, kita dapat melihatnya # (1-kos) (1 + kos) # adalah perbezaan kuadrat, dengan # a = 1 # dan # b = kos #. Ia menilai untuk # (1) ^ 2- (kos) ^ 2 #, atau # 1-cos ^ 2t #. Kami sudah menunjukkannya # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, maka penyebutnya akan diganti:

# (2sint (1 + kos)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + kos)) / sint #

Sines membatalkan:

# (2cancel (sint) (1 + kos)) / (batal (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 +

Dan voila, bukti lengkap:

# (2 (1 + kos)) / sint = (2 (1 + kos)) / sint #

Jawapan:

Biar saya cuba

Penjelasan:

# LHS = sint / (1-kos) + (1 + kos) / sint #

Memeriksa RHS kita biasa# (1 + kos) / sint #

Jadi

# LHS = (1 + kos) / sint (sint / (1 + kos) * sint / (1-kos) +1) #

# = (1 + kos) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + kos) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + kos) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + kos)) / sint = RHS #

Dibuktikan