Selesaikan persamaan berikut dalam nombor semulajadi: x² + y² = 1997 (x-y)?

Jawapan:

# (x, y) = (170, 145) # atau # (x, y) = (1817, 145) #

Penjelasan:

Bukti berikut adalah berdasarkan pada "Pengenalan kepada Persamaan Diophantine: Pendekatan Berdasarkan Masalah" oleh Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Diberikan:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Biarkan #a = (x + y) # dan #b = (1997-x + y) #

Kemudian:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Oleh itu, kita dapati:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Sejak #1997# adalah perdana, # a # dan # b # tidak mempunyai faktor umum yang lebih besar daripada #1#.

Oleh itu terdapat bilangan bulat positif #m, n # dengan #m> n # dan tiada faktor umum yang lebih besar daripada #1# seperti itu:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} warna (putih) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Melihat kepada # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # dalam mod #3# dan mod #5# aritmetik, kita dapati:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#Oleh itu #m - = + -1 # dan #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#Oleh itu #m - = + -1 # dan #n - = + -1 # (mod #5#)

Ini bermakna bahawa satu-satunya kemungkinan untuk #m, n # modulo #15# adalah #1, 4, 11, 14#.

Sebagai tambahan, ambil perhatian bahawa:

# m ^ 2 dalam (1997/2, 1997) #

Oleh itu:

#m dalam (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Jadi satu-satunya kemungkinan untuk # m # adalah #34, 41, 44#

Kita dapati:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# bukan persegi sempurna.

#1997 - 44^2 = 61# bukan persegi sempurna.

Jadi # (m, n) = (34, 29) #

Jadi:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

atau

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#color (white) () #

Jika # (a, b) = (1972, 315) # maka:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

dan seterusnya:

# (x, y) = (1817, 145) #

#color (white) () #

Jika # (a, b) = (315, 1972) # maka:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

dan seterusnya:

# (x, y) = (170, 145) #