Jawapan:
Petunjuk 1: Anggap dia persamaan # x ^ 2 + x-u = 0 # dengan # u # integer mempunyai penyelesaian integer # n #. Tunjukkan itu # u # sudah pun.
Penjelasan:
Jika # n # adalah satu penyelesaian yang terdapat integer # m # seperti itu
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Di mana #nm = u # dan # m-n = 1 #
Tetapi persamaan kedua memerlukannya #m = n + 1 #
Sekarang, kedua-duanya # m # dan # n # adalah integer, jadi salah satu # n #, # n + 1 # adalah dan juga #nm = u # sudah pun.
Proposisi
Jika # u # adalah integer ganjil, maka persamaan # x ^ 2 + x - u = 0 # tidak mempunyai penyelesaian yang integer.
Bukti
Katakan bahawa ada penyelesaian integer # m # daripada persamaan:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
di mana # u # adalah integer ganjil. Kita mesti memeriksa dua kes yang mungkin:
# m # adalah ganjil; atau
# m # sudah pun.
Pertama, mari kita pertimbangkan kes di mana # m # adalah ganjil, maka ada integer # k # seperti itu:
# m = 2k + 1 #
Sekarang, sejak # m # adalah akar persamaan kita, mestilah:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Dan kita mempunyai percanggahan, sebagai # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # walaupun, tetapi # u # adalah ganjil.
Seterusnya, mari kita pertimbangkan kes di mana # m # walaupun, maka terdapat integer # k # seperti itu:
# m = 2k #
Begitu juga, sejak # m # adalah akar persamaan kita, mestilah:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Dan, sekali lagi, kita mempunyai percanggahan, sebagai # 2 (2k ^ 2 + k) # walaupun, tetapi # u # adalah ganjil.
Jadi kami telah membuktikan bahawa tiada penyelesaian integer persamaan # x ^ 2 + x - u = 0 # di mana # u # adalah integer ganjil.
Oleh itu, cadangan itu dibuktikan. QED
Jawapan:
Lihat di bawah.
Penjelasan:
Jika # x ^ 2 + x-u = 0 # kemudian
# x (x + 1) = u # maka jika # x # adalah integer, # x (x + 1) # walaupun, menjadi percanggahan kerana # u # oleh hipotesis adalah ganjil.