Buktikan bahawa jika anda adalah integer ganjil, maka persamaan x ^ 2 + x-u = 0 tidak mempunyai penyelesaian yang merupakan integer?

Buktikan bahawa jika anda adalah integer ganjil, maka persamaan x ^ 2 + x-u = 0 tidak mempunyai penyelesaian yang merupakan integer?
Anonim

Jawapan:

Petunjuk 1: Anggap dia persamaan # x ^ 2 + x-u = 0 # dengan # u # integer mempunyai penyelesaian integer # n #. Tunjukkan itu # u # sudah pun.

Penjelasan:

Jika # n # adalah satu penyelesaian yang terdapat integer # m # seperti itu

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

Di mana #nm = u # dan # m-n = 1 #

Tetapi persamaan kedua memerlukannya #m = n + 1 #

Sekarang, kedua-duanya # m # dan # n # adalah integer, jadi salah satu # n #, # n + 1 # adalah dan juga #nm = u # sudah pun.

Proposisi

Jika # u # adalah integer ganjil, maka persamaan # x ^ 2 + x - u = 0 # tidak mempunyai penyelesaian yang integer.

Bukti

Katakan bahawa ada penyelesaian integer # m # daripada persamaan:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

di mana # u # adalah integer ganjil. Kita mesti memeriksa dua kes yang mungkin:

# m # adalah ganjil; atau

# m # sudah pun.

Pertama, mari kita pertimbangkan kes di mana # m # adalah ganjil, maka ada integer # k # seperti itu:

# m = 2k + 1 #

Sekarang, sejak # m # adalah akar persamaan kita, mestilah:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

Dan kita mempunyai percanggahan, sebagai # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # walaupun, tetapi # u # adalah ganjil.

Seterusnya, mari kita pertimbangkan kes di mana # m # walaupun, maka terdapat integer # k # seperti itu:

# m = 2k #

Begitu juga, sejak # m # adalah akar persamaan kita, mestilah:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

Dan, sekali lagi, kita mempunyai percanggahan, sebagai # 2 (2k ^ 2 + k) # walaupun, tetapi # u # adalah ganjil.

Jadi kami telah membuktikan bahawa tiada penyelesaian integer persamaan # x ^ 2 + x - u = 0 # di mana # u # adalah integer ganjil.

Oleh itu, cadangan itu dibuktikan. QED

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Jika # x ^ 2 + x-u = 0 # kemudian

# x (x + 1) = u # maka jika # x # adalah integer, # x (x + 1) # walaupun, menjadi percanggahan kerana # u # oleh hipotesis adalah ganjil.