Bolehkah sesiapa membuktikan ini?

Jawapan:

Gunakan undang-undang sinus untuk segitiga dan beberapa identiti trigonometri mudah.

Penjelasan:

Dari undang-undang sinus segitiga

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

kita boleh melihatnya dengan mudah

# {^ ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C) (2 BC) / sin 2A = {sin (BC) / 2) cos ({B + C} / 2)) sin (B + C)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (pi-A)} / sin ^ 2A = sin (BC)

Jadi itu

# b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 kali sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

Dua lagi istilah boleh diperolehi dari satu ini dengan cara permulaan kitaran # A #, # B # dan # C #. Menambah ketiga-tiga istilah membawa kepada bukti secara tidak sengaja.

Jawapan:

Sila lihat di bawah.

Penjelasan:

Tempoh pertama # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (sin (B + C) sin (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (sinAsin (B-C)) / (sinA * sinA) * 2sinA * cosA #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = sin (A + B-C) -sin (A-B + C) #

# = sin (pi-2C) -in (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Begitu juga istilah kedua# = sin2A-sin2B # dan

Istilah ketiga# = sin2B-sin2A #

Keseluruhannya # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Perhatikan bahawa # sin ^ 2A-sin ^ 2B = dosa (A + B) * dosa (A-B) #

Jawapan:

Sila rujuk kepada Penjelasan.

Penjelasan:

Prasyarat: Dalam notasi biasa untuk # DeltaABC, #

Sine-rule: # a / sinA = 2R, atau, sinA = a / (2R) #.

Cosine-Rule: # cosA = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc) #.

Kami ada, # (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc),

# = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (Rabc) #, # = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc).

Mendapatkan ungkapan yang sama untuk terma yang tinggal di sebelah kiri

ahli dan menambahnya, hasilnya adalah berikut.