Tulis semula persamaan dalam sistem x'y' yang diputar tanpa istilah x'y. Bolehkah saya mendapatkan bantuan? Terima kasih!

Jawapan:

Pemilihan kedua:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Penjelasan:

Persamaan yang diberikan

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

berada dalam bentuk umum Cartesian untuk seksyen kerucut:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

di mana #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 dan F = -144 #

Rotasi seratan rujukan memberi kita persamaan yang membolehkan kita memutarkan seksyen kerucut ke sudut tertentu, # theta #. Juga, ia memberi kita persamaan yang membolehkan kita memaksa pekali # xy # untuk menjadi 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Menggantikan nilai dari persamaan 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Mudahkan:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Gunakan persamaan (9.4.4b) untuk mengesahkan bahawa putaran baru menyebabkan koefisien # xy # terma menjadi 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # disahkan.

Gunakan persamaan (9.4.4a) untuk mengira # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

2 (-3 / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Gunakan persamaan (9.4.4c) untuk mengira # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

2 (-3 / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Gunakan Persamaan (9.4.4f) untuk mengira # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Sekarang, kita boleh menulis borang yang tidak dilindungi:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Bahagikan kedua belah pihak dengan 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Tambah 1 kepada kedua-dua pihak:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Jawapan:

Pilihan B

Penjelasan:

Kita boleh menulis persamaan dalam bentuk matriks dan kemudian berputar ke paksi utama.

Katakanlah:

b, c (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Dan sebagainya dalam bentuk matriks:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Untuk memutarkan paksi # bbx # oleh # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transposing #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, kerana R adalah ortogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Meletakkan keputusan terakhir 2 ini # persegi #:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW jika R adalah matriks yang diagonalalis M, maka kita mempunyai persamaan dari segi paksi utama untuk matriks eigenvector diagonal D, iaitu:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M nilai eigen adalah 36 dan 16 supaya dapat diagonalisasi sebagai:

#bb x ^ ('^ T) Dbb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

# x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #