Apakah rumusan umum untuk diskriminan polinomial darjah n?

Jawapan:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Diskriminasi daripada polinomial #f (x) # ijazah # n # boleh dijelaskan dari segi penentu matriks Sylvester #f (x) # dan #f '(x) # seperti berikut:

Diberikan:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Kami ada:

(n-1) a ^ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Matriks Sylvester daripada #f (x) # dan #f '(x) # ialah # (2n-1) xx (2n-1) # matriks yang terbentuk menggunakan pekali mereka, serupa dengan contoh berikut untuk # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Kemudian diskriminasi # Delta # diberikan dari segi penentu matriks Sylvester dengan formula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Untuk # n = 2 # kami ada:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(yang mungkin anda dapati lebih dikenali di dalam borang #Delta = b ^ 2-4ac #)

Untuk # n = 3 # kami ada:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (putih) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminasi untuk kuadratik (# n = 2 #) dan kubik (# n = 3 #) adalah yang paling berguna kerana mereka memberitahu anda betapa banyak sifar kompleks sebenar, berulang atau tidak nyata yang mempunyai polinomial.

Tafsiran diskriminasi untuk polinomial pesanan yang lebih tinggi adalah lebih terhad, tetapi selalu mempunyai harta yang polinomial telah mengulangi sifar jika dan hanya jika diskriminasi adalah sifar.

#color (white) () #

Bacaan lanjut

Lihat