X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

Jawapan:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

(x ^ 2) (x ^ 2 (omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2 (omega ^ 2alpha + omegabar (alpha)) x + 2) #

seperti yang dihuraikan di bawah …

Penjelasan:

Amaran:

Jawapan ini mungkin lebih maju daripada yang anda harapkan.

Nota

Ia adalah mungkin untuk memudahkan dan mencari:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

tetapi tidak jelas kepada saya cara terbaik untuk melakukan ini.

Jawapan:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

x = 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Penjelasan:

Berikut adalah kaedah yang lebih mudah …

Diberikan:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Cari formasi bentuk:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

(= (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

Menyamakan koefisien yang kita dapati:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Jadi #alpha, beta, gamma # adalah sifar kubik:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3 (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Perhatikan bahawa jumlah pekali kubik ini ialah #0#. Itu dia #1-6+5 = 0#.

Oleh itu # x = 1 # adalah sifar dan # (x-1) # faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nisbah kuadratik yang tersisa boleh didapati menggunakan formula kuadratik sebagai:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Jadi # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2}

Jadi:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

x = 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Bolehkah kita umumkan derivasi di atas?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

(q (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betha + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alpha + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Menyamakan koefisien:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Oleh itu #alpha, beta, gamma # adalah nol:

# x ^ 3-3qx-p #

Jadi jika kita dapat mencari tiga sifar sebenar kubik ini, maka kita mempunyai faktorisasi sekstik itu # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # ke dalam tiga kuadratik dengan pekali sebenar.