Soalan # 92256

Jawapan:

Lihat penjelasan

Penjelasan:

Cuti ini menjadi dua bahagian, pertama bahagian dalaman:

# e ^ x #

Ini positif dan meningkat untuk semua nombor sebenar dan pergi dari 0 ke # oo # sebagai # x # pergi dari # -oo # kepada # oo #

Yang kita ada:

#arctan (u) #

Yang mempunyai asymptote mendatar tepat pada # y = pi / 2 #. Pergi dari # u = 0 rarr oo #, pada # u = 0 # fungsi ini positif dan meningkat di atas domain ini, mengambil nilai 0 pada # u = 0 #, nilai # pi / 4 # pada # u = 1 # dan nilai # pi / 2 # pada # u = oo #.

Oleh itu, mata-mata ini dapat ditarik # x = -oo, 0, oo # masing-masing dan kita berakhir dengan grafik yang kelihatan seperti ini sebagai hasilnya:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Yang merupakan bahagian positif dari # arctan # fungsi menghulurkan seluruh garisan sebenar dengan nilai kiri yang meregangkan ke asymptote mendatar pada # y = 0 #.

Jawapan:

Lihat penjelasan

Penjelasan:

Domain adalah # RR #

Simetri

Tidak berkenaan dengan # x # paksi atau w.r.t asal usul.

#arctan (e ^ (- x)) # tidak mudah #arctan (e ^ x) #

tidak juga # -arctan (e ^ x) #

Memintas

# x # memintas: tiada

Kita tidak boleh #y = 0 # kerana itu akan memerlukan # e ^ x = 0 #

Tetapi # e ^ x # tidak pernah #0#, ia hanya menghampiri #0# sebagai # xrarr-oo #.

Jadi, # yrarr0 # sebagai # xrarr-oo # dan juga # x # paksi os mendatar

asymptote di sebelah kiri.

# y # memintas: # pi / 4 #

Bila # x = 0 #, kita mendapatkan #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptotes:

Menegak: tiada

# arctan # adalah antara # -pi / 2 # dan # pi / 2 # mengikut definisi, jadi tidak pernah pergi # oo #

Mendatar:

Ditinggalkan: # y = 0 # seperti yang dibincangkan di atas

Betul: # y = pi / 2 #

Kami tahu bahawa, sebagai # thetararrpi / 2 # dengan #theta <pi / 2 #, kita mendapatkan #tantheta rarr oo #

supaya # xrarroo #, kita mendapatkan # e ^ x rarroo #, jadi # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Derivatif pertama

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # tidak pernah #0# dan tidak pernah ditakrifkan, jadi tidak ada nombor kritikal.

Untuk setiap # x # kita ada #y '> 0 # jadi fungsi semakin meningkat # (- ya, ya) #

Tiada ekstrema tempatan.

Derivatif kedua

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # tidak pernah ditakrifkan, dan ia tidak #0# pada # x = 0 #

Tanda #y '' #:

Pada # (- oo, 0) #, kita mendapatkan # e ^ (2x) <1 # jadi #y ''> 0 # dan graf adalah cekung

Pada # (0, oo) #, kita mendapatkan # e ^ (2x)> 1 # jadi #y '' <0 # dan grafnya adalah cekung

Kesimpulan berubah pada # x = 0 #, maka titik infleksi adalah:

# (0, pi / 4) #

Sekarang lakarkan grafik