Selesaikan persamaan berikut x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Jawapan:

`x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i`

Penjelasan:

Diberikan:

`x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0`

Perhatikan bahawa ini berkesan dalam kuadratik `x ^ 4` seperti itu:

`(x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0`

Kita boleh faktor ini untuk mencari:

`0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9)`

Setiap faktor kuartik yang tinggal adalah perbezaan petak, jadi kami boleh menggunakan:

`A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B)`

untuk mencari:

`x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1)`

`x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3)`

Faktor-faktor kuadrat yang selebihnya akan semua faktor sebagai perbezaan kuadrat juga, tetapi kita perlu menggunakan pekali yang tidak rasional dan / atau kompleks untuk melakukan sebahagian daripadanya::

`x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1)`

`x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i)`

`x ^ 2-3 = x ^ 2 (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3))`

# x ^ 2 + 3 = x ^ 2 (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3)

Oleh itu, sifar polinomial oktaf yang asal adalah:

`x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i`