Kenapa kita tidak boleh menggabungkan x ^ x?

Jawapan:

Kami tidak mempunyai peraturan untuknya.

Penjelasan:

Dalam integral, kita mempunyai peraturan standard. Peraturan anti-rantai, peraturan anti-produk, peraturan anti kuasa, dan sebagainya. Tetapi kita tidak mempunyai satu fungsi yang mempunyai # x # di kedua-dua asas dan kuasa. Kita boleh mengambil derivatif itu dengan baik, tetapi cuba untuk mengambil integral adalah mustahil kerana kekurangan peraturan ia akan bekerja dengan.

Jika anda membuka Kalkulator Desmos Graphing, anda boleh cuba untuk memasangkannya

# int_0 ^ x a ^ ada #

dan ia akan menggambarkannya dengan baik. Tetapi jika anda cuba menggunakan peraturan anti-kuasa atau peraturan anti-eksponen untuk melawannya, anda akan melihatnya gagal. Apabila saya cuba mencarinya (yang saya masih bekerja), langkah pertama saya adalah untuk mendapatkannya dari borang ini dan ke berikut:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Ini pada asasnya membolehkan kita menggunakan kaedah kalkulus sedikit lebih baik. Tetapi walaupun menggunakan Integrasi oleh Bahagian, anda tidak akan menyingkirkan integral sepenuhnya. Oleh itu, anda sebenarnya tidak mendapat fungsi untuk menentukannya.

Tetapi seperti biasa dalam Matematik, menyeronokkan untuk mencuba.Jadi teruskan dan cuba, tetapi tidak terlalu panjang atau keras, anda akan disedut ke lubang arnab ini.

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

#y = x ^ x # boleh diintegrasikan. Contohnya

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Perkara lain adalah untuk mempunyai masa kini, satu fungsi #f (x) # yang mewakili dalam bentuk tertutup, primitif untuk # x ^ x # atau dengan kata lain, seperti itu

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Sekiranya ini merupakan fungsi penggunaan biasa dalam masalah teknikal-saintifik, pasti kita akan mencipta nama dan simbol yang berbeza untuk memanipulasinya. Seperti fungsi Lambert yang ditakrifkan sebagai

#W (x) = x e ^ x #

Jawapan:

Sila lihat di bawah.

Penjelasan:

Seperti yang ditunjukkan Cesareo (tanpa berkata), terdapat beberapa kekaburan dalam "kita tidak dapat mengintegrasikan".

Fungsinya #f (x) = x ^ x # berterusan # (0, oo) #

dan seterusnya # 0, oo) # jika kita buat #f (0) = 1 #, jadi mari kita lakukan itu. Oleh itu, integral pasti

# int_a ^ b x ^ x dx # wujud untuk semua # 0 <= a <= b #

Selain itu, teorem asas calulus memberitahu kita bahawa fungsi itu # int_0 ^ x t ^ t dt # mempunyai derivatif # x ^ x # untuk #x> = 0 #

Apa yang tidak boleh kita lakukan adalah mengungkapkan fungsi ini dalam bentuk ekspresi algebra yang bagus, terbatas dan tertutup (atau juga mengetahui fungsi transendental).

Terdapat banyak perkara dalam matematik yang tidak dapat dinyatakan kecuali dalam bentuk yang membolehkan perkiraan yang lebih baik secara berturut-turut.

Sebagai contoh:

Nombor yang segiempatnya #2# tidak boleh dinyatakan dalam bentuk perpuluhan atau fraksional menggunakan ekspresi terhingga. Oleh itu, kita memberikannya sebagai simbol, # sqrt2 # dan menghampakannya ke tahap ketepatan yang diinginkan.

Nisbah lilitan ke diameter lingkaran tidak dapat diungkapkan dengan menggunakan kombinasi algebra terhingga bilangan keseluruhan, jadi kami memberikan nama, # pi # dan menghampakannya ke tahap ketepatan yang diinginkan.

Penyelesaian kepada # x = cosx # juga boleh dihampiri dengan mana-mana ketepatan yang dikehendaki, tetapi tidak boleh dinyatakan dengan jelas. Nombor ini (mungkin) tidak cukup penting untuk diberi nama.

Seperti yang dikatakan Cesareo, jika integral dari # x ^ x # mempunyai banyak aplikasi, ahli matematik akan menggunakan nama untuknya.

Tetapi pengiraan masih memerlukan anggaran tak terhingga.