Tukar semua nombor kompleks ke bentuk trigonometri dan kemudian memudahkan ungkapan itu? Tulis jawapan dalam bentuk standard.

Jawapan:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Penjelasan:

Dalam jawapan yang lain untuk soalan ini, saya fikir terdapat kesilapan tipo dalam soalan ini dan itu #-3# sepatutnya # -sqrt {3} #. Saya telah memberi jaminan dalam komen bahawa itu bukan kes itu, soalan itu betul seperti yang ditulis.

Saya tidak akan mengulangi cara kami menentukan

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Tetapi sekarang kita perlu menukar # -3 + i # kepada bentuk trigonometri. Kita boleh melakukannya, tetapi kerana ia bukan salah satu segi tiga pilihan Trig, ia agak lebih janggal.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Kami berada di kuadran kedua dan nilai utama tangen songsang adalah kuadran keempat.

# sudut (-3 + i) = text {Arc} teks {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (teks {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^

De Moivre tidak berfungsi dengan baik dalam bentuk seperti ini, kita dapat

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (teks {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) +

Tetapi kita tidak terjebak. Oleh kerana eksponen hanya #3# kita boleh melakukan ini dengan rumus sudut tiga. Mari kita panggil sudut berterusan yang kita dapati

#theta = sudut (-3 + i) #

Oleh De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)

Kami tahu

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

- 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) = 50 #

4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Itu kelihatan seperti kerja lebih daripada sekadar cubing # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, mari kita buat masalah:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ) 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 pusingan)} / { text {cis} (300 ^ circ)

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ pusingan - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ bulat) #

Ugh, tidak pernah berakhir. Kita mendapatkan

= (75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

= sin (-75 ^) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #