Berapakah y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Pertama mari kita pertimbangkan domain:

Untuk apa nilai # x # adalah fungsi yang ditakrifkan?

Pengangka # (1-x) ^ (1/2) # hanya didefinasikan apabila # (1-x)> = 0 #. Menambah # x # kepada kedua-dua belah ini anda dapati #x <= 1 #.

Kami juga menghendaki penyebut menjadi tidak sifar.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # adalah sifar apabila #x = -1 / 2 # dan bila #x = -1 #.

Jadi domain fungsi itu

# {x di RR: x <= 1 dan x! = -1 dan x! = -1/2} #

Tentukan #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # pada domain ini.

Mari kita pertimbangkan setiap selang berterusan dalam domain secara berasingan:

Dalam setiap kes, mari #epsilon> 0 # menjadi nombor positif kecil.

Kes (a): #x <-1 #

Untuk nilai negatif besar # x #, #f (x) # kecil dan positif.

Di akhir lain selang ini, jika #x = -1 - epsilon # kemudian

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # sebagai #epsilon -> 0 #

Jadi untuk #x <-1 # julat #f (x) # adalah # (0, + oo) #

Kes (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1)

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # sebagai #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Jadi untuk # -1 / 2 <x <= 1 # julat #f (x) # adalah # 0, + oo) #

Kes (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # sebagai #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1)

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # sebagai #epsilon -> 0 #

Oleh itu, soalan yang menarik ialah apakah nilai maksimum #f (x) # dalam selang ini. Untuk mencari nilai # x # yang mana ini berlaku mencari derivatif menjadi sifar.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Ini akan sifar apabila pengangka adalah sifar, jadi kami ingin menyelesaikannya:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x +

Maju melalui oleh # 2 (1-x) ^ (1/2) # untuk mendapatkan:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Itu dia:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

yang mempunyai akar # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Daripada akar-akar ini, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # jatuh dalam selang waktu berkenaan.

Gantikan semula ini #f (x) # untuk mencari maksimum #f (x) dalam selang ini (kira-kira -10).

Ini kelihatannya lebih rumit kepada saya. Adakah saya membuat kesilapan?

Jawapan: Julat fungsi ini # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Untuk #x dalam (-oo, -1) # #-># #y dalam (0, oo) #

Untuk #x dalam (-1, -0.5) # #-># #y dalam (-oo, -10.58) #

Untuk #x dalam (-0.5, 1 # #-># #y dalam 0, ya #