Apakah extrema mutlak f (x) = x - e ^ x dalam [1, ln8]?

Jawapan:

Terdapat maksimum mutlak #-1.718# pada # x = 1 # dan minimum mutlak #-5.921# pada # x = ln8 #.

Penjelasan:

Untuk menentukan extrema mutlak pada selang waktu, kita mesti mencari nilai kritikal fungsi yang terletak dalam selang. Kemudian, kita mesti menguji kedua titik akhir selang dan nilai kritikal. Ini adalah tempat di mana nilai kritikal boleh berlaku.

Mencari nilai kritikal:

Nilai kritikal #f (x) # berlaku bila-bila masa #f '(x) = 0 #. Oleh itu, kita mesti mencari derivatif #f (x) #.

Sekiranya:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Kemudian: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Oleh itu, nilai kritikal akan berlaku apabila: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Yang menunjukkan bahawa:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Jadi:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "x = ln1 = 0 #

Nilai kritikal hanya berfungsi pada # x = 0 #, iaitu tidak pada selang yang diberikan # 1, ln8 #. Oleh itu, satu-satunya nilai di mana extrema mutlak boleh berlaku ialah # x = 1 # dan # x = ln8 #.

Menguji nilai yang mungkin:

Cuma, cari #f (1) # dan #f (ln8) #. Semakin kecil adalah minimum mutlak fungsi dan yang lebih besar adalah maksimum mutlak.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Oleh itu, terdapat maksimum mutlak #-1.718# pada # x = 1 # dan minimum mutlak #-5.921# pada # x = ln8 #.

Graphed adalah fungsi asal pada selang yang diberikan:

graf {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Oleh kerana tidak ada nilai kritikal, fungsi tersebut akan terus berkurangan sepanjang keseluruhan selang. Sejak # x = 1 # adalah permulaan selang yang sentiasa berkurang, ia akan mempunyai nilai tertinggi. Logik yang sama berlaku untuk # x = ln8 #, kerana ia adalah jarak selang dan akan menjadi yang paling rendah.