Bagaimana untuk menyelesaikan 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Jawapan:

Kita dapat menyelesaikan soalan ini secara grafik.

Penjelasan:

Persamaan yang diberikan # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # boleh ditulis semula sebagai

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Sekarang ambil kedua-dua ini sebagai fungsi yang berasingan

#f (x) = 2e ^ (x) # dan #g (x) = 7-2x # dan plot graf mereka; mereka titik persimpangan akan menjadi penyelesaian kepada persamaan yang diberikan # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Ini ditunjukkan di bawah: -

Jawapan:

Algebra di luar sekolah tinggi ini, dan cara terbaik untuk menyelesaikannya ialah dengan bertanya kepada Wolfram Alpha yang menjawabnya #x lebih kurang.94 #.

Penjelasan:

Selesaikan

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Soalan-soalan seperti ini amat sukar, dan jawapannya bergantung jika anda berada di Algebra di sekolah menengah atau lebih dalam matematik.

Untuk sekolah menengah, pendekatan terbaik adalah dengan mencuba beberapa nombor kecil dan lihat jika mereka bekerja. (Ini berfungsi untuk banyak, banyak masalah matematik sekolah tinggi, fyi.) Terdapat hanya satu rasional # x # itu membuatkan # e ^ x # rasional, # x = 0 #, yang bukan penyelesaiannya. Jadi meneka tidak akan berfungsi di sini.

Sekiranya anggaran adalah cukup baik, kita boleh grafnya, atau graf # 2e ^ x # dan # 7-2x # dan lihat di mana mereka bertemu.

Apapun tahap anda, apabila berhadapan dengan yang sukar seperti ini, ia biasanya merupakan langkah yang baik untuk meminta ahli yang ada, iaitu Wolfram Alpha.

Kita lihat Alpha memberi kita jawapan anggaran, cukup dekat dengan 1, dan juga formula menggunakan W (x), yang Lambert Product Log, yang biasanya bukan sebahagian daripada matematik sekolah tinggi.

Tidak ada jawapan yang menggunakan fungsi dan operasi biasa yang kita tahu tentang di Algebra sekolah menengah. Itu umumnya benar apabila kita menambah istilah dengan # x # dalam eksponen ke satu tempat # x # muncul sebagai kuasa linear atau lebih tinggi.

Itulah akhir jawapan bagi kebanyakan pelajar. Tetapi kita boleh pergi lebih mendalam. Log produk adalah fungsi yang menarik.Pertimbangkan persamaan

#k = xe ^ x #

Di sebelah kanan ialah fungsi yang semakin meningkat # x #, jadi ia akan menyeberang # k # lambat laun. Mengambil log tidak semestinya membawa kita ke mana-mana sahaja: #ln k = ln x + x #.

Kami memerlukan sesuatu seperti log, tetapi tidak ada yang sebaliknya # e ^ x #. Ia perlu menjadi sebaliknya # xe ^ x #. Ia dipanggil Log Produk atau fungsi Lambert W, yang ditakrifkan sebagai:

#k = xe ^ x # mempunyai penyelesaian yang sebenar #x = W (k) #.

Kami akan menyekat perhatian kita terhadap reyal. Ia menyeronokkan untuk cuba mencari # W '#hartanah s. Yang asas kita diberikan ialah

#W (xe ^ x) = x #

Mari mari # x = ye ^ y # dalam perkara berikut #W (x) = y #. Sekarang

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Itu sejuk. Macam mana dengan

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Mengambil balak, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # dengan asumsi log ditakrifkan

Sekarang anda melihat bagaimana ia berfungsi dengan W, lihat jika anda boleh menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan, atau untuk menyemak penyelesaian Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #