Bagaimana anda mendapati derivatif tan (x - y) = x?

Jawapan:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Penjelasan:

Saya menganggap anda ingin mencari # (dy) / (dx) #. Untuk ini kita perlu terlebih dahulu menyatakan ungkapan # y # dari segi # x #. Kami perhatikan bahawa masalah ini mempunyai pelbagai penyelesaian, sejak #tan (x) # adalah fungsi berkala, #tan (x-y) = x # akan mempunyai pelbagai penyelesaian. Walau bagaimanapun, kerana kita tahu tempoh fungsi tangen (# pi #), kita boleh melakukan perkara berikut: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, di mana #tan ^ (- 1) # ialah fungsi songsang dari nilai memberi tangen antara # -pi / 2 # dan # pi / 2 # dan faktornya # npi # telah ditambahkan ke akaun untuk tempoh berkala tangen.

Ini memberi kami # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, Oleh itu # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, ambil perhatian bahawa faktor itu # npi # telah hilang. Sekarang kita perlu mencari # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Ini agak rumit, tetapi boleh dilakukan menggunakan teorem fungsi terbalik.

Menetapkan # u = tan ^ (- 1) x #, kita ada # x = tanu = sinu / cosu #, jadi # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, dengan menggunakan peraturan rawak dan beberapa identiti trigonometri. Menggunakan teorem fungsi terbalik (yang menyatakan bahawa jika # (dx) / (du) # adalah berterusan dan bukan sifar, kita ada # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), kita ada # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Sekarang kita perlu menyatakan # cos ^ 2u # dari segi x.

Untuk melakukan ini, kita menggunakan beberapa trigonometri. Memandangkan segitiga yang betul dengan sisi # a, b, c # di mana # c # adalah hypotenuse dan # a, b # disambungkan ke sudut yang betul. Jika # u # adalah sudut di mana sampingan # c # memotong sampingan # a #, kita ada # x = tanu = b / a #. Dengan simbol # a, b, c # dalam persamaan yang kita maksudkan panjang tepi ini. # cosu = a / c # dan menggunakan teorem Pythagoras, kita dapati # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Ini memberi # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, jadi # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Sejak # u = tan ^ (- 1) x #, kita dapat menggantikannya dengan persamaan kita # (dy) / (dx) # dan cari # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.