Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Jawapan:

#x dalam (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Penjelasan:

Kita boleh jadi itu #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # adalah siri geometri dengan nisbah # r = 1 / (x (1-x)) #.

Sekarang kita tahu bahawa siri geometri berkumpul apabila nilai mutlak nisbah lebih kecil daripada 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Jadi kita mesti selesaikan ketidaksamaan ini:

# 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 #

Mari kita mulakan dengan yang pertama:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Kita boleh dengan mudah membuktikan bahawa pengangka sentiasa positif dan penyebutnya adalah negetif dalam selang #x dalam (-oo, 0) U (1, oo) #.

Jadi ini adalah penyelesaian untuk ketidaksamaan pertama kami.

Mari lihat yang kedua:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x) #

Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian selang:

#x dalam (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Jadi siri kami menumpu di mana ini untuk selang-seling sama ada benar.

Oleh itu, selang penumpuan kami ialah:

#x dalam (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Di manakah selang masa ramalan atau selang keyakinan lebih sempit: dekat min atau jauh dari min?

Kedua-dua ramalan dan selang keyakinan lebih sempit berdekatan dengan min, ini dapat dilihat dengan mudah dalam rumus margin kesalahan yang sepadan. Berikut adalah margin kesilapan selang keyakinan. E = t _ { alpha / 2, df = n-2} times s_e sqrt {( frac {1} {n} + frac {(x_0 - bar {x}) ^ 2} }}}} Berikut adalah margin ralat untuk jujukan ramalan E = t _ { alpha / 2, df = n-2} times s_e sqrt {(1 + frac {1} {n} + frac { x_0 - bar {x}) ^ 2} {S_ {xx}})} Dalam kedua-dua ini kita melihat istilah (x_0 - bar {x}) ^ 2 yang skala sebagai kuadrat jarak titik ramalan dari min. Inilah sebabnya mengapa CI dan PI adalah paling sempit pada m

Berapakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Lihat di bawah. Menggunakan identiti polinomial (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) kita mempunyai abs x <1 lim_ (n-> oo) x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) maka, untuk x ne k pi, k dalam ZZ kita mempunyai sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = (1-cos x)

Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan apakah jumlahnya dalam x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["ialah selang konvergensi untuk x" "x = 3 tidak dalam selang penumpuan sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo " ia menjadi satu siri geometri dengan menggantikan "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Kemudian kita mempunyai" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / <z> <1 "Jadi selang penumpuan adalah" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negative)" "Kes positif:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <