Berapakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Berapakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Menggunakan identiti polinomial

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

kita ada #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

maka, untuk # x ne k pi, k dalam ZZ # kita ada

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Di manakah selang masa ramalan atau selang keyakinan lebih sempit: dekat min atau jauh dari min?

Kedua-dua ramalan dan selang keyakinan lebih sempit berdekatan dengan min, ini dapat dilihat dengan mudah dalam rumus margin kesalahan yang sepadan. Berikut adalah margin kesilapan selang keyakinan. E = t _ { alpha / 2, df = n-2} times s_e sqrt {( frac {1} {n} + frac {(x_0 - bar {x}) ^ 2} }}}} Berikut adalah margin ralat untuk jujukan ramalan E = t _ { alpha / 2, df = n-2} times s_e sqrt {(1 + frac {1} {n} + frac { x_0 - bar {x}) ^ 2} {S_ {xx}})} Dalam kedua-dua ini kita melihat istilah (x_0 - bar {x}) ^ 2 yang skala sebagai kuadrat jarak titik ramalan dari min. Inilah sebabnya mengapa CI dan PI adalah paling sempit pada m

Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan apakah jumlahnya dalam x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["ialah selang konvergensi untuk x" "x = 3 tidak dalam selang penumpuan sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo " ia menjadi satu siri geometri dengan menggantikan "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Kemudian kita mempunyai" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / <z> <1 "Jadi selang penumpuan adalah" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negative)" "Kes positif:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <

Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X dalam (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Kita boleh menyimpulkan bahawa sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x) ^ n ialah siri geometri dengan nisbah r = 1 / (x (1-x)). Sekarang kita tahu bahawa siri geometri berkumpul apabila nilai mutlak nisbah lebih kecil daripada 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Jadi kita mesti menyelesaikan ketidaksamaan ini: 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 Mari bermula dengan yang pertama: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x) (x (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Kita dengan mudah boleh membuktikan bahawa pengangka sentiasa positif dan penyebutnya adalah negetif selang x dalam (-oo, 0)