Buktikan bahawa set kuasa adalah medan?

Jawapan:

Set kuasa set adalah cincin commutative di bawah operasi semulajadi kesatuan dan persimpangan, tetapi bukan bidang di bawah operasi itu, kerana ia tidak mempunyai elemen songsang.

Penjelasan:

Memandangkan set # S #, pertimbangkan set kuasa # 2 ^ S # daripada # S #.

Ini mempunyai operasi asli kesatuan # uu # yang berkelakuan seperti penambahan, dengan identiti # O / # dan persimpangan # nn # yang berkelakuan seperti pendaraban dengan identiti # S #.

Lebih terperinci:

• # 2 ^ S # ditutup di bawah # uu #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A uu B dalam 2 ^ S #

• Terdapat identiti # O / dalam 2 ^ S # untuk # uu #

  Jika #A dalam 2 ^ S # kemudian #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # adalah bersekutu

  Jika #A, B, C dalam 2 ^ S # kemudian #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # adalah komutatif

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # ditutup di bawah # nn #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn B dalam 2 ^ S #

• Terdapat identiti #S dalam 2 ^ S # untuk # nn #

  Jika #A dalam 2 ^ S # kemudian #A nn S = S nn A = A #

• # nn # adalah bersekutu

  Jika #A, B, C dalam 2 ^ S # kemudian #A nn (Bnn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # adalah komutatif

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn B = B nn A #

• # nn # adalah kiri dan kanan mengedarkan # uu #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  dan # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Jadi # 2 ^ S # memenuhi semua aksioma yang diperlukan untuk menjadi cincin komutatif dengan tambahan # uu # dan pendaraban # nn #.

Jika #S = O / # kemudian # 2 ^ S # mempunyai satu elemen, iaitu # O / #, jadi ia tidak mempunyai identiti tambahan dan multiplikasi yang berbeza dan oleh karenanya bukan bidang.

Jika tidak, ambil perhatian # S # tiada songsang di bawah # uu # dan # O / # tiada songsang di bawah # nn #. Jadi # 2 ^ S # tidak membentuk medan kerana kekurangan elemen songsang.