Apakah kawasan permukaan pepejal yang dihasilkan oleh pusingan f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x di [1,3] di sekitar paksi x?

Jawapan:

Tentukan tanda itu, kemudian digabungkan dengan bahagian. Kawasan adalah:

# A = 39.6345 #

Penjelasan:

Anda perlu tahu sama ada #f (x) # adalah negatif atau positif dalam #1,3#. Oleh itu:

# xe ^ -x-xe ^ x #

# x (e ^ -x-e ^ x) #

Untuk menentukan tanda, faktor kedua akan positif apabila:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Sejak # e ^ x> 0 # bagi apa apa #x dalam (-oo, + oo) # ketidaksamaan tidak berubah:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Jadi fungsi hanya positif apabila x adalah negatif dan sebaliknya. Oleh kerana terdapat juga # x # faktor dalam #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Apabila satu faktor positif, yang lain adalah negatif, maka f (x) adalah sentiasa negatif. Oleh itu, Kawasan:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 +

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Menggunakan kalkulator:

# A = 39.6345 #

Jawapan:

Kawasan = 11,336.8 unit persegi

Penjelasan:

yang diberikan #f (x) = xe ^ -x-xe ^ x #

untuk memudahkan kesederhanaan #f (x) = y #

dan # y = xe ^ -x-xe ^ x #

derivatif pertama # y '# diperlukan dalam pengiraan kawasan permukaan.

Kawasan # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

di mana # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Kawasan # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Tentukan derivatif pertama # y '#:

membezakan # y = x (e ^ -x - e ^ x) # menggunakan derivatif formula produk

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

selepas pemudahan dan pemfaktoran, hasilnya adalah

derivatif pertama # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Kiraan sekarang Kawasan:

Kawasan = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Kawasan # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Kawasan

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Untuk integral yang rumit seperti ini, kita boleh menggunakan Peraturan Simpson:

supaya itu

Kawasan

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Kawasan = -11,336.804

ini melibatkan arah revolusi supaya boleh ada kawasan permukaan negatif atau kawasan permukaan positif. Marilah kita pertimbangkan nilai positif Kawasan = 11336.804 unit persegi