Soalan # c7520

Jawapan:

Gunakan identiti dua sudut untuk sinus dan bulatan unit untuk mencari penyelesaian # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, dan # (3pi) / 2 #.

Penjelasan:

Pertama, kita menggunakan identiti penting # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Sekarang kita boleh faktor # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

Dan menggunakan harta produk sifar, kami memperoleh penyelesaian:

# costheta = 0 "dan" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Jadi, bilakah # costheta = 0 # pada selang waktu # -pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Penyelesaian ini boleh didapati dengan menggunakan bulatan unit dan sifat fungsi kosinus:

#cos (-theta) = costheta #

Jika # theta = pi / 2 #, maka:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Dari bulatan unit, kita tahu itu #cos (pi / 2) = 0 #, yang juga bermakna #cos (-pi / 2) = 0 #; jadi dua penyelesaian adalah # -pi / 2 # dan # pi / 2 #. Juga, bulatan unit memberitahu kami bahawa #cos ((3pi) / 2) = 0 #, jadi kami ada penyelesaian lain di sana.

Sekarang, ke # sintheta = 1/2 #. Sekali lagi, kami memerlukan bulatan unit untuk mencari penyelesaian kami.

Kita tahu dari bulatan unit itu #sin (pi / 6) = 1/2 #, dan #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, jadi kami tambah # pi / 6 # dan # (5pi) / 6 # kepada senarai penyelesaian.

Akhirnya, kami meletakkan semua penyelesaian kami bersama-sama: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, dan # (3pi) / 2 #.

The Circle Unit