Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / ?

#a) #

Anda hanya perlu mengambil #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blue) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / (iomega_2t) #

= sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) sin (/ pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) (pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = warna (biru) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Tempoh ini boleh didapati dengan usaha yang minimum, dengan hanya mengetahui tenaga, yang merupakan pemalar gerakan.

Tenaga # phi_1 = sqrt (1 / L) dosa ((pix) / L) # adalah # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, dan tenaga # phi_2 # adalah # 4E_1 #. Oleh itu, frekuensi # omega_2 # daripada # phi_2 # adalah empat kali ganda daripada # phi_1 # (# omega_1 #).

Akibatnya, tempoh itu # T_1 = (2pi) / (omega_1) # daripada # phi_1 # adalah empat kali ganda daripada # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, dan juga merupakan tempoh # phi_2 #.

Oleh itu, tempoh itu #color (biru) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Saya akan membiarkan anda memalamkan ini dalam diri anda sebagai #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. Anda tidak perlu berbuat apa-apa dengannya …

Kami tahu itu #T = (2pi) / (omega_1) #, dan itu # (iEt) / ℏ = iomegat #, jadi

#E_n = omega_nℏ #.

Akibatnya, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

dan

#color (biru) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = warna (biru) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Kebarangkalian mencari zarah dalam # 0, L / 2 # diberikan sebagai

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

2 = (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Dua istilah pertama adalah simetrik dengan separuh amplitud, dan hasil #50%# keseluruhannya.

Istilah ketiga akan mempunyai kebarangkalian keadaan pegun # 4 / (3pi) #, dan # cos # adalah faktor fasa sewenang-wenangnya. Oleh itu, kebarangkalian keseluruhan ialah

# = warna (biru) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (biru) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Tidak ada penyelesaian remeh untuk ini … Ini ternyata:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = warna (biru) ((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)

#f) #

Pada #x = L / 2 #, yang # sin # terma pergi ke #sin (pi / 2) = 1 # dan kepada #sin (pi) = 0 #, masing-masing.

Sejak #sin (pi) = 0 #, bahagian masa yang bergantung kepada #Psi ^ "*" Psi # lenyap dan bahagian masa yang bebas # 1 / L # sebagai kepadatan kebarangkalian.