Jawapan:
# x = arctan (-3) + 180 ^ pusingan k atau x = -45 ^ pusingan + 180 ^ pusingan k kuad # untuk integer # k. #
Penjelasan:
Saya telah melakukan ini dengan dua cara yang berbeza tetapi saya fikir cara ketiga ini adalah yang terbaik. Terdapat beberapa formula double angle untuk kosinus. Mari kita tidak tergoda oleh mana-mana daripada mereka. Mari kita mengelakkan persamaan mengkuadratkan juga.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Gabungan linear kosinus dan sinus adalah fasa cosine beralih.
Biarkan # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # dan
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
Saya menunjukkan tangen yang utama, di kuadran pertama, di sekeliling # theta = 63.4 ^ circ #. Kami yakin
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Jadi kita boleh menulis semula persamaan kita
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Sentiasa ingat penyelesaian umum untuk #cos x = cos a # adalah # x = pm a + 360 ^ circ qu k quad # untuk integer # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circulat k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Mengambil tanda-tanda satu demi satu, # x = theta + 45 ^ pusingan + 180 ^ pusingan k atau x = -45 ^ pusingan + 180 ^ pusingan k #
#phi = theta + 45 ^ circ # adalah tetap kita boleh cuba untuk mendapatkan ungkapan yang lebih baik untuk:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ pusingan) #
# 2 (tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)) / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^
Kami tahu # phi # berada dalam kuadran kedua, bukan dalam julat biasa nilai utama.
#phi = teks {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Itu ternyata tidak penting kerana kita menambah # 180 ^ pusingan k # kepada # phi # dalam penyelesaian umum pula. Meletakkannya bersama-sama, # x = arctan (-3) + 180 ^ pusingan k atau x = -45 ^ pusingan + 180 ^ pusingan k #
Kita tidak perlu teliti mengenai nilai utama arctan itu; sejak kita menambah # 180 ^ pusingan k # sebarang nilai akan dilakukan. Kita boleh menulis yang pertama # x = arctan (-3) # dengan # 180 ^ pusingan k # tersirat, tetapi biarkan meninggalkannya di sini.
