Bagaimanakah anda dapati tiga deretan pertama siri Maclaurin untuk f (t) = (e ^ t - 1) / t menggunakan siri Maclaurin e ^ x?

Kami tahu bahawa siri Maclaurin # e ^ x # adalah

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Kita juga dapat memperoleh siri ini dengan menggunakan pengembangan Maclaurin #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # dan hakikat bahawa semua derivatif dari # e ^ x # masih # e ^ x # dan # e ^ 0 = 1 #.

Sekarang, cuma menggantikan siri di atas

# (e ^ x-1) / x #

# = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x #

# = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Jika anda mahu indeks bermula pada # i = 0 #, hanya mengganti # n = i + 1 #:

# = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Kini, hanya menilai tiga syarat pertama untuk mendapatkannya

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #