Apakah pelbagai fungsi kuadratik?

Jawapan:

Julat #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # adalah:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "jika" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "if" a <0):} #

Penjelasan:

Memandangkan fungsi kuadratik:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # dengan #a! = 0 #

Kita boleh melengkapkan persegi untuk mencari:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Untuk nilai sebenar # x # tempoh kuadrat # (x + b / (2a)) ^ 2 # adalah tidak negatif, mengambil nilai minima #0# bila #x = -b / (2a) #.

Kemudian:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Jika #a> 0 # maka ini adalah nilai minima mungkin #f (x) # dan pelbagai #f (x) # adalah # c-b ^ 2 / (4a), ya) #

Jika #a <0 # maka ini adalah nilai maksimum kemungkinan #f (x) # dan pelbagai #f (x) # adalah # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Satu lagi cara untuk melihat ini adalah untuk membiarkan #y = f (x) # dan lihat jika ada penyelesaian untuk # x # dari segi # y #.

Diberikan:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Tolakkan # y # dari kedua belah pihak untuk mencari:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminasi # Delta # persamaan kuadratik ini ialah:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Untuk mendapatkan penyelesaian yang sebenar, kami memerlukan #Delta> = 0 # dan juga:

# (b ^ 2-4ac) + 4dalam> = 0 #

Tambah # 4ac-b ^ 2 # kepada kedua-dua pihak untuk mencari:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Jika #a> 0 # maka kita boleh membahagikan kedua belah pihak dengan # 4a # untuk mendapatkan:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Jika #a <0 # maka kita boleh membahagikan kedua belah pihak # 4a # dan membalikkan ketidaksamaan untuk mendapatkan:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #