Bagaimana untuk mengintegrasikan int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx dengan pecahan separa?

Jawapan:

# 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Penjelasan:

Jadi, kita mula-mula menulis ini:

(X + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Dengan tambahan kami dapat:

(X + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2)

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Menggunakan # x = -2 # memberi kami:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Kemudian gunakan # x = -1 # memberi kami:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Sekarang gunakan # x = 0 # (sebarang nilai yang belum digunakan boleh digunakan):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

(X + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

(x + 1) -1 integer 1 (x + 1) / (x + 1) ^ 2dx #

Saya meninggalkan satu ini supaya kita boleh bekerja secara berasingan.

Kami ada # - (x + 1) ^ - 2 #. Kita tahu bahawa menggunakan peraturan rantai memberi kita # d / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Kami hanya ada # - (x + 1) ^ - 2 #, jadi #f (x) # mesti # (x + 1) ^ - 1 #

# d / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

(x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1) ^ - 1 + C #