Bagaimana untuk membuktikan bahawa siri ini berkumpul?

Jawapan:

Converges oleh Ujian Perbandingan Langsung.

Penjelasan:

Kita boleh menggunakan Ujian Perbandingan Langsung, setakat yang kita ada

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, siri ini bermula pada satu.

Untuk menggunakan Ujian Perbandingan Langsung, kami perlu membuktikannya # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # adalah positif # 1, ya #.

Pertama, ambil perhatian bahawa pada selang waktu # 1, oo), cos (1 / k) # adalah positif. Untuk nilai #x # cosx # berada di kuadran pertama (dan oleh itu positif). Nah, untuk #k> = 1, 1 / k jadi, #cos (1 / k) # sememangnya positif.

Tambahan pula, kita boleh katakan #cos (1 / k) <= 1 #, sebagai #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Kemudian, kita boleh menentukan urutan baru

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # untuk semua # k. #

Nah, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Kita tahu converges ini oleh # p- #ujian siri, ia adalah dalam bentuk # sum1 / k ^ p # di mana # p = 2> 1 #.

Kemudian, kerana siri yang lebih besar menumpu, maka mesti siri yang lebih kecil.

Jawapan:

Ia menumpu oleh ujian perbandingan langsung (lihat di bawah untuk maklumat lanjut).

Penjelasan:

Kenali bahawa julat kosinus adalah -1,1. Semak graf #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Seperti yang anda boleh lihat, maksimum nilai yang akan dicapai akan menjadi 1. Oleh kerana kita hanya cuba untuk membuktikan penumpuan di sini, mari kita tetapkan pengangka kepada 1, meninggalkan:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Kini, ini menjadi masalah ujian perbandingan langsung yang sangat mudah. Ingat apakah ujian perbandingan langsung itu:

Pertimbangkan satu siri sewenang-wenangnya # a_n # (kita tidak tahu sama ada ia menyatukan / menyimpang), dan satu siri yang kita tahu penumpuan / perbezaan, # b_n #:

Jika #b_n> a_n # dan # b_n # menumpukan, kemudian # a_n # juga menumpu.

Jika #b_n <a_n # dan # b_n # menyimpang, kemudian # a_n # juga menyimpang.

Kita boleh membandingkan fungsi ini dengan #b_n = 1 / k ^ 2 #. Kita boleh melakukan ini kerana kita tahu ia menumpu (kerana ujian-p).

Jadi, sejak # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, dan # 1 / k ^ 2 # menumpukan, kita boleh mengatakan bahawa siri menumpu

Tetapi, tunggu, kami hanya membuktikan bahawa siri ini menumpu apabila pengangka = 1. Bagaimana pula dengan semua nilai lain #cos (1 / k) # boleh mengambil? Nah, ingatlah bahawa 1 adalah maksimum nilai yang boleh diambil oleh pengangka. Jadi, kerana kami telah membuktikan bahawa ini menumpu, kami secara tidak langsung membuktikan bahawa siri ini telah menyatukan apa-apa nilai dalam pengangka.

Harap yang membantu:)