Cik Fox bertanya kelasnya ialah jumlah 4.2 dan akar persegi 2 rasional atau tidak rasional? Patrick menjawab bahawa jumlah itu tidak akan rasional. Nyatakan sama ada Patrick betul atau salah. Jelaskan alasan anda.

Jawapan:

Jumlah # 4.2 + sqrt2 # tidak rasional; ia mewarisi harta pengembangan perpuluhan yang tidak pernah berulang daripada #sqrt 2 #.

Penjelasan:

An nombor tidak rasional adalah nombor yang tidak boleh dinyatakan sebagai nisbah dua bulat. Sekiranya nombor tidak rasional, pengembangan perpuluhan kekal selama-lamanya tanpa corak, dan sebaliknya.

Kita sudah tahu itu #sqrt 2 # tidak rasional. Pengembangan perpuluhan bermula:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Jumlah #4.2# adalah rasional; ia boleh dinyatakan sebagai #42/10.# Apabila kita menambah 4.2 untuk pengembangan perpuluhan #sqrt 2 #, kita mendapatkan:

#sqrt 2 + 4.2 = warna (putih) + 1.414213562373095 … #

#color (putih) (sqrt 2) warna (putih) + warna (putih) (4.2 =) + 4.2 #

#color (putih) (sqrt 2) warna (putih) + warna (putih) (4.2 =) bar (warna (putih) (+) 5.614213562373095 …) #

Ia mudah dilihat bahawa jumlah ini juga tidak menamatkan atau tidak mempunyai corak yang berulang, jadi ia juga tidak rasional.

Secara umum, jumlah nombor rasional dan nombor tidak rasional akan sentiasa tidak rasional; hujah adalah sama seperti di atas.

Jawapan:

#color (biru) ("betul") #

Penjelasan:

Jika kita mulakan dengan mengatakan jumlahnya adalah rasional: Semua nombor rasional boleh ditulis sebagai quotient dua bulat # a / bcolor (putih) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produk dua bulat adalah integer:

Perbezaan dua bulat adalah integer:

Jadi:

# 5a-21b # adalah integer.

# 5b # adalah integer.

Oleh itu:

# (5a-21b) / (5b) # adalah rasional.

Tetapi kita tahu itu #sqrt (2) # adalah tidak rasional, jadi ini adalah percanggahan dari anggapan kita bahawa jumlahnya adalah rasional, oleh itu jumlah nombor tidak rasional dan nombor rasional sentiasa tidak rasional.